Чтобы найти остаток от деления ( 7^{29} ) на ( 5 ), мы можем использовать свойство, называемое «модуль». Рассмотрим, как делать это шаг за шагом.
Шаг 1: Применяем малую теорему Ферма
Согласно малой теореме Ферма, если ( p ) — простое число и ( a ) — целое число, не делящееся на ( p ), то выполняется равенство:
[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
]
В нашем случае ( p = 5 ) и ( a = 7 ). Поскольку ( 7 ) не делится на ( 5 ), мы можем применить теорему.
По теореме Ферма:
[
7^{5-1} = 7^4 \equiv 1 \mod 5
]
Шаг 2: Упрощаем ( 7^{29} ) с использованием теоремы
Теперь давайте выразим ( 29 ) через ( 4 ) (так как мы знаем, что ( 7^4 \equiv 1 \mod 5 )):
[
29 = 4 \cdot 7 + 1
]
Таким образом, мы можем записать:
[
7^{29} = 7^{4 \cdot 7 + 1} = (7^4)^7 \cdot 7^1
]
Согласно малой теореме Ферма:
[
(7^4)^7 \equiv 1^7 \equiv 1 \mod 5
]
Теперь мы можем упростить ( 7^{29} ):
[
7^{29} \equiv 1 \cdot 7^1 \equiv 7 \mod 5
]
Шаг 3: Находим остаток от ( 7 \mod 5 )
Теперь нам нужно найти остаток от ( 7 ) при делении на ( 5 ):
[
7 \div 5 = 1 \quad (остаток = 2)
]
Таким образом:
[
7 \equiv 2 \mod 5
]
Ответ
Остаток от деления ( 7^{29} ) на ( 5 ) равен ( \boxed{2} ).
