Решите графическим способом систему уравнений y=x²-2x+1, y=-x²+4x+1 Составьте таблицу от -3 до 3 , и илюстриройте параболу
Для решения системы уравнений графическим способом, начнем с анализа каждой из функций и их построения. У нас есть следующие уравнения:
- \( y = x^2 - 2x + 1 \) (парабола, открытая вверх)
- \( y = -x^2 + 4x + 1 \) (парабола, открытая вниз)
Шаг 1: Приведение уравнений к стандартной форме
Первое уравнение можно переписать как \( y = (x - 1)^2 \). Это значит, что вершина этой параболы находится в точке \( (1, 0) \).
Второе уравнение можно переписать в стандартной форме: \[ y = -(x^2 - 4x - 1) \] Проведем выделение полного квадрата в этом уравнении: \[ y = - (x^2 - 4x + 4 - 4 - 1) = - ((x - 2)^2 - 5) \\ y = - (x - 2)^2 + 5 \] Вершина этой параболы находится в точке \( (2, 5) \).
Шаг 2: Построение таблицы значений
Заполним таблицу значений для обеих парабол от \( x = -3 \) до \( x = 3 \):
| \( x \) | \( y_1 = x^2 - 2x + 1 \) | \( y_2 = -x^2 + 4x + 1 \) |
|---|---|---|
| -3 | \( 9 + 6 + 1 = 16 \) | \( -9 + 12 + 1 = 4 \) |
| -2 | \( 4 + 4 + 1 = 9 \) | \( -4 + 8 + 1 = 5 \) |
| -1 | \( 1 + 2 + 1 = 4 \) | \( -1 + 4 + 1 = 4 \) |
| 0 | \( 0 + 0 + 1 = 1 \) | \( 0 + 0 + 1 = 1 \) |
| 1 | \( 1 - 2 + 1 = 0 \) | \( -1 + 4 + 1 = 4 \) |
| 2 | \( 4 - 4 + 1 = 1 \) | \( -4 + 8 + 1 = 5 \) |
| 3 | \( 9 - 6 + 1 = 4 \) | \( -9 + 12 + 1 = 4 \) |
Теперь у нас есть таблица значений для обеих функций:
Шаг 3: Построение графиков
Для первой параболы \( y = x^2 - 2x + 1 \):
- Вершина: \( (1, 0) \)
- Значения: \( (-3, 16), (-2, 9), (-1, 4), (0, 1), (1, 0), (2, 1), (3, 4) \)
Для второй параболы \( y = -x^2 + 4x + 1 \):
- Вершина: \( (2, 5) \)
- Значения: \( (-3, 4), (-2, 5), (-1, 4), (0, 1), (1, 4), (2, 5), (3, 4) \)
Шаг 4: Нахождение пересечений
Пересечение графиков двух функций будет там, где \( y_1 = y_2 \). Из таблицы видно, что:
- При \( x = -1, y = 4 \) обе функции дают одно и то же значение.
- При \( x = 3, y = 4 \) обе функции также пересекаются.
Шаг 5: Илюстрация парабол
Теперь мы можем нарисовать график этих парабол:
- Первая парабола (открыта вверх) будет проходить через точки, перечисленные в таблице.
- Вторая парабола (открыта вниз) также будет проходить через указанные точки.
На графике должно быть видно, что обе параболы пересекаются в точках \( (-1, 4) \) и \( (3, 4) \).
Итог
Мы графически представили систему уравнений, записали значения в таблицу и нашли точки пересечения. Убедитесь, что вы построили графики точно и отметили вершины обеих парабол, чтобы лучше понять форму каждой функции.
