Давайте разберём предложенные предложения и определим синтаксическую роль глаголов в неопределённой форме.
Пришёл просить - Глагол "просить" (инфинитив) выражает цель действия. Он является второстепенным членом предложения, дополнением к глаголу "пришёл".
Дышать грядущим - Глагол "дышать" в неопределенной форме выражает желание или стремление. В данном случае он также выступает как часть повествовательного момента, охватывающего эмоции.
Перестали ходить - Глагол "ходить" здесь показывает действие, которое бабы прекращают. Он выступает в роли второстепенного члена, дополнения к глаголу "перестали".
Вышел отдохнуть - Глагол "отдохнуть" указывает на причину выхода. Он также функционирует как дополнение.
Не мог бы рассказать - Глагол "рассказать" влияет на действие, которое подразумевается. Здесь он выполняет функцию дополнения к модальному глаголу "мог".
Начал клубиться - Глагол "клубиться" описывает действие, которое начинает туман. Он является сказуемым, дополняющим "начал".
Собрался уходить - "Уходить" выполняет функцию дополнения, определяя намерение.
Буду гнать - Глагол "гнать" – это сказуемое, указывающее на действие, которое будет выполнено.
Рубить - топор тупить - Глаголы "рубить" и "тупить" выступают в роли сравнительного оборота, являясь составной частью пословицы.
Сбылась мечта участвовать - Глагол "участвовать" является дополнением к существительному "мечта", указывая, что именно сбылось.
Увлечение путешествовать - "Путешествовать" здесь играет роль пояснения к существительному "увлечение".
Раздалась команда поднять - "Поднять" является дополнением, определяющим действие команды.
Посоветовал подлечиться - Глагол "подлечиться" дан в форме инфинитива и классифицируется как дополнение к глаголу "посоветовал".
Таким образом, в каждом предложении глаголы в неопределенной форме выполняют разные синтаксические роли, дополняя или уточняя другие члены предложения.