Для решения задачи начнем с того, что у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°. Даны следующие параметры:
- AC (катет) = 24
- tg A (тангенс угла A) = ( \frac{3\sqrt{10}}{4} )
Чтобы найти длину стороны AB (гипотенуза), нам сначала нужно выразить сторону BC через известные катеты.
Шаг 1: Найдем сторону BC.
Если тангенс угла A равен ( \frac{3\sqrt{10}}{4} ), это означает, что:
[
tg A = \frac{BC}{AC}
]
Подставляем известные значения:
[
\frac{3\sqrt{10}}{4} = \frac{BC}{24}
]
Шаг 2: Решим уравнение на BC.
Умножим обе стороны уравнения на 24:
[
BC = 24 \cdot \frac{3\sqrt{10}}{4} = 6 \cdot 3\sqrt{10} = 18\sqrt{10}
]
Теперь мы знаем, что:
Шаг 3: Найдем гипотенузу AB с помощью теоремы Пифагора.
Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Подставим значения:
[
AB^2 = 24^2 + (18\sqrt{10})^2
]
Шаг 4: Посчитаем каждую составляющую.
- ( 24^2 = 576 )
- ( (18\sqrt{10})^2 = 18^2 \cdot 10 = 324 \cdot 10 = 3240 )
Теперь подставим данные в уравнение:
[
AB^2 = 576 + 3240 = 3816
]
Шаг 5: Найдем AB.
Теперь для нахождения длины гипотенузы AB извлечем квадратный корень:
[
AB = \sqrt{3816}
]
Шаг 6: Упростим корень.
3816 можно разложить на множители:
[
3816 = 144 \cdot 26.5 = 144 \cdot 2 \cdot 13
]
144 является квадратом:
[
AB = \sqrt{144} \cdot \sqrt{26.5} = 12\sqrt{26.5}
]
Таким образом, длина гипотенузы AB равна (12\sqrt{26.5}).
Ответ:
Длина гипотенузы AB составляет ( 12\sqrt{26.5} ).
