В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 24, tg A = 3√10/4. Найдите AB.
Для решения задачи начнем с того, что у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°. Даны следующие параметры:
- AC (катет) = 24
- tg A (тангенс угла A) = \( \frac{3\sqrt{10}}{4} \)
Чтобы найти длину стороны AB (гипотенуза), нам сначала нужно выразить сторону BC через известные катеты.
Шаг 1: Найдем сторону BC.
Если тангенс угла A равен \( \frac{3\sqrt{10}}{4} \), это означает, что:
\[ tg A = \frac{BC}{AC} \]
Подставляем известные значения:
\[ \frac{3\sqrt{10}}{4} = \frac{BC}{24} \]
Шаг 2: Решим уравнение на BC.
Умножим обе стороны уравнения на 24:
\[ BC = 24 \cdot \frac{3\sqrt{10}}{4} = 6 \cdot 3\sqrt{10} = 18\sqrt{10} \]
Теперь мы знаем, что:
- AC = 24
- BC = 18\sqrt{10}
Шаг 3: Найдем гипотенузу AB с помощью теоремы Пифагора.
Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
Подставим значения:
\[ AB^2 = 24^2 + (18\sqrt{10})^2 \]
Шаг 4: Посчитаем каждую составляющую.
- \( 24^2 = 576 \)
- \( (18\sqrt{10})^2 = 18^2 \cdot 10 = 324 \cdot 10 = 3240 \)
Теперь подставим данные в уравнение:
\[ AB^2 = 576 + 3240 = 3816 \]
Шаг 5: Найдем AB.
Теперь для нахождения длины гипотенузы AB извлечем квадратный корень:
\[ AB = \sqrt{3816} \]
Шаг 6: Упростим корень.
3816 можно разложить на множители:
\[ 3816 = 144 \cdot 26.5 = 144 \cdot 2 \cdot 13 \]
144 является квадратом:
\[ AB = \sqrt{144} \cdot \sqrt{26.5} = 12\sqrt{26.5} \]
Таким образом, длина гипотенузы AB равна \(12\sqrt{26.5}\).
Ответ:
Длина гипотенузы AB составляет \( 12\sqrt{26.5} \).
