апофема правильной пятиугольной пирамиды равна 6 см, а радиус окружности, вписанный в еë основание равен корень 3. Вычислите полную поверхность пирамиды.

Чтобы найти полную поверхность правильной пятиугольной пирамиды, нужно учитывать как площадь её основания, так и площадь боковых граней.

Шаг 1: Нахождение площади основания

Правильная пятиугольная пирамида имеет основание в форме правильного пятиугольника. Формула для вычисления площади \( S \) правильного пятиугольника по радиусам вписанной окружности \( r \) (в данном случае равному \( \sqrt{3} \)):

\[ S = \frac{5}{2} \cdot r \cdot a \]

где \( a \) — это длина стороны пятиугольника. Чтобы найти \( a \), нужно воспользоваться формулой:

\[ a = 2r \cdot \tan(\frac{\pi}{5}) \]

Подставим значение радиуса:

\[ a = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) \]

Шаг 2: Находим \( a \)

Значение \( \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) \) можно найти в таблице или с помощью калькулятора. Это примерно \( 0.7265 \).

Теперь подставим:

\[ a \approx 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 0.7265 \approx 2 \cdot 1.732 \cdot 0.7265 \approx 2.51 см \]

Шаг 3: Подстановка значения в формулу площади

Теперь мы можем найти площадь основания:

\[ S = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 2.51 \approx \frac{5 \cdot 1.732 \cdot 2.51}{2} \approx 5.16 см^2 \]

Шаг 4: Нахождение площади боковых граней

Площадь одной боковой грани (треугольника) может быть вычислена по формуле:

\[ S_{\text{боковая}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]

где \( h \) — высота треугольника, равная апофеме пирамиды (в данном случае \( 6 см \)). Подставим \( a \):

\[ S_{\text{боковая}} = \frac{1}{2} \cdot 2.51 \cdot 6 = 7.53 см^2 \]

Поскольку у нас пять боковых граней:

\[ S_{\text{боковые}} = 5 \cdot S_{\text{боковая}} = 5 \cdot 7.53 \approx 37.65 см^2 \]

Шаг 5: Полная поверхность пирамиды

Теперь мы можем найти полную поверхность пирамиды, складывая площадь основания и площадь боковых граней:

\[ S_{\text{полная}} = S_{\text{основание}} + S_{\text{боковые}} = 5.16 + 37.65 \approx 42.81 см^2 \]

Ответ

Полная поверхность правильной пятиугольной пирамиды примерно равна 42.81 см².