Х²-2х-15=>0

Чтобы решить неравенство \(x^2 - 2x - 15 \geq 0\), выполним следующие шаги: ### Шаг 1: Найдем корни соответствующего уравнения. Сначала решим уравнение \(x^2 - 2x - 15 = 0\). Для этого можно использовать формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] где: - \(a = 1\) (коэффициент при \(x^2\)), - \(b = -2\) (коэффициент при \(x\)), - \(c = -15\) (свободный член), - \(D = b^2 - 4ac\) — дискриминант. ### Шаг 2: Найдем дискриминант. Находим дискриминант \(D\): \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \] ### Шаг 3: Найдем корни уравнения. Теперь подставим дискриминант в формулу: \[ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = -3 \] Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -3\). ### Шаг 4: Определим промежутки на числовой прямой. Теперь можем разделить числовую прямую на промежутки, где \(x^2 - 2x - 15\) может менять знак. Корни делят прямую на три промежутка: 1. \(x < -3\) 2. \(-3 < x < 5\) 3. \(x > 5\) ### Шаг 5: Определим знак выражения на каждом промежутке. Теперь проверим знак выражения \(x^2 - 2x - 15\) в каждом промежутке: 1. Возьмем, к примеру, \(x = -4\) (при \(x < -3\)): \[ (-4)^2 - 2(-4) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9 \quad (\text{положительно}) \] 2. Возьмем \(x = 0\) (при \(-3 < x < 5\)): \[ 0^2 - 2(0) - 15 = -15 \quad (\text{отрицательно}) \] 3. Возьмем \(x = 6\) (при \(x > 5\)): \[ 6^2 - 2(6) - 15 = 36 - 12 - 15 = 9 \quad (\text{положительно}) \] ### Шаг 6: Составим ответ. Теперь мы знаем, что: - На промежутке \(x < -3\), выражение положительно. - На промежутке \(-3 < x < 5\), выражение отрицательно. - На промежутке \(x > 5\), выражение положительно. Поскольку мы ищем, где \(x^2 - 2x - 15 \geq 0\), это включает корни: \[ x \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty) \] ### Ответ: Итак, решением неравенства \(x^2 - 2x - 15 \geq 0\) будет: \[ x \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty) \]