х²-2х-15=>0
Чтобы решить неравенство \(x^2 - 2x - 15 \geq 0\), выполним следующие шаги:
Шаг 1: Найдем корни соответствующего уравнения.
Сначала решим уравнение \(x^2 - 2x - 15 = 0\). Для этого можно использовать формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
где:
- \(a = 1\) (коэффициент при \(x^2\)),
- \(b = -2\) (коэффициент при \(x\)),
- \(c = -15\) (свободный член),
- \(D = b^2 - 4ac\) — дискриминант.
Шаг 2: Найдем дискриминант.
Находим дискриминант \(D\):
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \]
Шаг 3: Найдем корни уравнения.
Теперь подставим дискриминант в формулу:
\[ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = 5 \]
\[ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = -3 \]
Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -3\).
Шаг 4: Определим промежутки на числовой прямой.
Теперь можем разделить числовую прямую на промежутки, где \(x^2 - 2x - 15\) может менять знак. Корни делят прямую на три промежутка:
- \(x < -3\)
- \(-3 < x < 5\)
- \(x > 5\)
Шаг 5: Определим знак выражения на каждом промежутке.
Теперь проверим знак выражения \(x^2 - 2x - 15\) в каждом промежутке:
Возьмем, к примеру, \(x = -4\) (при \(x < -3\)): \[ (-4)^2 - 2(-4) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9 \quad (\text{положительно}) \]
Возьмем \(x = 0\) (при \(-3 < x < 5\)): \[ 0^2 - 2(0) - 15 = -15 \quad (\text{отрицательно}) \]
Возьмем \(x = 6\) (при \(x > 5\)): \[ 6^2 - 2(6) - 15 = 36 - 12 - 15 = 9 \quad (\text{положительно}) \]
Шаг 6: Составим ответ.
Теперь мы знаем, что:
- На промежутке \(x < -3\), выражение положительно.
- На промежутке \(-3 < x < 5\), выражение отрицательно.
- На промежутке \(x > 5\), выражение положительно.
Поскольку мы ищем, где \(x^2 - 2x - 15 \geq 0\), это включает корни:
\[ x \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty) \]
Ответ:
Итак, решением неравенства \(x^2 - 2x - 15 \geq 0\) будет:
\[ x \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty) \]
