Реши систему уравнения способом сложентя
Чтобы решить систему уравнений способом сложения, выберем пункт (в) из предложенных систем:
\[ \begin{align*} 1) & \quad \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 2.3 \\ 2) & \quad \frac{x}{3} - 3y = 2 \end{align*} \]
Первый шаг — избавиться от дробей, чтобы упростить вычисления.
- Умножим первое уравнение на наименьшее общее кратное знаменателей (10):
\[ 10 \left(\frac{x}{5} + \frac{y}{2}\right) = 10 \cdot 2.3 \]
\[ 2x + 5y = 23 \]
- Умножим второе уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби:
\[ 3 \left(\frac{x}{3} - 3y\right) = 3 \cdot 2 \]
\[ x - 9y = 6 \]
Теперь у нас обновленная система уравнений:
\[ \begin{align*} 1) & \quad 2x + 5y = 23 \\ 2) & \quad x - 9y = 6 \end{align*} \]
Следующий шаг — используем метод сложения для исключения одной из переменных. Например, можем избавиться от \(x\).
- Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты перед \(x\) были одинаковыми:
\[ 2(x - 9y) = 2 \cdot 6 \]
\[ 2x - 18y = 12 \]
Теперь обновленная система имеет вид:
\[ \begin{align*} 1) & \quad 2x + 5y = 23 \\ 2) & \quad 2x - 18y = 12 \end{align*} \]
- Вычтем второе уравнение из первого:
\[ (2x + 5y) - (2x - 18y) = 23 - 12 \]
\[ 2x + 5y - 2x + 18y = 11 \]
\[ 23y = 11 \]
\[ y = \frac{11}{23} \]
- Подставим найденное значение \(y\) во второе уравнение для нахождения \(x\):
\[ x - 9\left(\frac{11}{23}\right) = 6 \]
\[ x - \frac{99}{23} = 6 \]
\[ x = 6 + \frac{99}{23} \]
\[ x = \frac{138}{23} + \frac{99}{23} \]
\[ x = \frac{237}{23} \]
Таким образом, решение системы уравнений:
\[ x = \frac{237}{23}, \quad y = \frac{11}{23} \]
