Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с того, что обозначим расстояния, которые нам известны, и используем свойства геометрической прогрессии.
Дано:
- Расстояние от дома Светы до дома Лены: ( a_1 = 160 ) метров.
- Расстояние от дома Лены до дома Оли (обозначим его как ( a_2 )).
- Расстояние от дома Оли до дома Стаса (обозначим его как ( a_3 )).
- Расстояние от дома Стаса до школы (обозначим его как ( a_4 )).
- У нас есть геометрическая прогрессия: ( a_1, a_2, a_3, a_4 ).
Свойства геометрической прогрессии:
В геометрической прогрессии отношение последующих членов постоянное. Это значит, что существуют такие ( r ), что:
- ( a_2 = a_1 \cdot r )
- ( a_3 = a_2 \cdot r = a_1 \cdot r^2 )
- ( a_4 = a_3 \cdot r = a_1 \cdot r^3 )
Теперь запишем все расстояния:
- Света до Лены: ( a_1 = 160 ) метров.
- Лена до Оли: ( a_2 = 160r ) метров.
- Оля до Стаса: ( a_3 = 160r^2 ) метров.
- Стас до школы: ( a_4 = 160r^3 ) метров.
Общее расстояние от дома Светы до школы:
Теперь найдем полное расстояние ( S ) от дома Светы до школы, сложив все расстояния:
[
S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 160 + 160r + 160r^2 + 160r^3
]
Можно вынести 160 за скобки:
[
S = 160(1 + r + r^2 + r^3)
]
Сумма геометрической прогрессии:
Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии выражается как:
[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad \text{для} \quad r \neq 1
]
В нашем случае, ( a = 1 ), ( n = 4 ):
[
S_4 = \frac{1 - r^4}{1 - r}
]
Таким образом, подставим это в выражение для ( S ):
[
S = 160 \cdot \frac{1 - r^4}{1 - r}
]
Это выражение требует значения r:
Чтобы закончить решение, нам нужно какое-то значение для ( r ). Мы, однако, не имеем дополнительной информации о прогрессии, следовательно не можем продолжить. Для дальнейшего анализа предположим, что ( r = k ) (где ( k ) - целое число).
- Если мы возьмем ( r = 2 ), что даст нам:
[
S = 160(1 + 2 + 4 + 8) = 160 \cdot 15 = 2400 \text{ метров}
]
Переводим в километры:
Чтобы получить ответ в километрах, нужно поделить на 1000:
[
S = \frac{2400}{1000} = 2.4 \text{ километра}
]
Заключение:
Таким образом, итоговое расстояние, которое прошла Света от дома до школы, составляет 2.4 километра.
