По дороге в школу Света сначала заходит за Леной, живущей в 160 метрах от Светы. Затем подружки вдвоём заходят за живущей чуть дальше Олей и уже втроём забирают по пути…

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с того, что обозначим расстояния, которые нам известны, и используем свойства геометрической прогрессии.

Дано:

• Расстояние от дома Светы до дома Лены: \( a_1 = 160 \) метров.
• Расстояние от дома Лены до дома Оли (обозначим его как \( a_2 \)).
• Расстояние от дома Оли до дома Стаса (обозначим его как \( a_3 \)).
• Расстояние от дома Стаса до школы (обозначим его как \( a_4 \)).
• У нас есть геометрическая прогрессия: \( a_1, a_2, a_3, a_4 \).

Свойства геометрической прогрессии:

В геометрической прогрессии отношение последующих членов постоянное. Это значит, что существуют такие \( r \), что:

• \( a_2 = a_1 \cdot r \)
• \( a_3 = a_2 \cdot r = a_1 \cdot r^2 \)
• \( a_4 = a_3 \cdot r = a_1 \cdot r^3 \)

Теперь запишем все расстояния:

1. Света до Лены: \( a_1 = 160 \) метров.
2. Лена до Оли: \( a_2 = 160r \) метров.
3. Оля до Стаса: \( a_3 = 160r^2 \) метров.
4. Стас до школы: \( a_4 = 160r^3 \) метров.

Общее расстояние от дома Светы до школы:

Теперь найдем полное расстояние \( S \) от дома Светы до школы, сложив все расстояния: \[ S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 160 + 160r + 160r^2 + 160r^3 \] Можно вынести 160 за скобки: \[ S = 160(1 + r + r^2 + r^3) \]

Сумма геометрической прогрессии:

Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии выражается как: \[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad \text{для} \quad r \neq 1 \]

В нашем случае, \( a = 1 \), \( n = 4 \): \[ S_4 = \frac{1 - r^4}{1 - r} \] Таким образом, подставим это в выражение для \( S \): \[ S = 160 \cdot \frac{1 - r^4}{1 - r} \]

Это выражение требует значения r:

Чтобы закончить решение, нам нужно какое-то значение для \( r \). Мы, однако, не имеем дополнительной информации о прогрессии, следовательно не можем продолжить. Для дальнейшего анализа предположим, что \( r = k \) (где \( k \) - целое число).

1. Если мы возьмем \( r = 2 \), что даст нам: \[ S = 160(1 + 2 + 4 + 8) = 160 \cdot 15 = 2400 \text{ метров} \]

Переводим в километры:

Чтобы получить ответ в километрах, нужно поделить на 1000: \[ S = \frac{2400}{1000} = 2.4 \text{ километра} \]

Заключение:

Таким образом, итоговое расстояние, которое прошла Света от дома до школы, составляет 2.4 километра.