Для решения данной задачи используем модель биномиального распределения, так как каждый выстрел можно рассматривать как независимое испытание с двумя исходами: попадание в цель и промах.
Мы известны:
- Вероятность попадания в цель ( p = 0.9 ).
- Вероятность промаха в цель ( q = 1 - p = 0.1 ).
- У нас 5 целей и на каждую цель даётся не более 2 выстрелов.
Шаг 1: Вероятность события «лучник поразит ровно 5 целей» (P1)
Для того чтобы поразить ровно 5 целей, лучник должен попасть по каждой из 5 целей (что требует 5 попаданий) из двух возможных выстрелов на каждую цель. Это может произойти следующим образом:
- По каждой из 5 целей будет сделано ровно 2 выстрела.
- На каждом выстреле вероятность попадания в цель равна 0.9.
То есть, вероятность того, что на каждом из двух выстрелов лучник попадет в цель, равна ( p^2 ).
Таким образом, вероятность поразить все 5 целей:
[
P1 = (0.9^2)^5 = 0.9^{10}
]
Шаг 2: Вероятность события «лучник поразит ровно 4 цели» (P2)
Чтобы поразить ровно 4 цели, лучник должен поразить 4 цели, а одна цель должна быть промахнута. Рассмотрим вариант, когда 4 цели поражаются с 2 выстрелами, а одна из 5 целей - с одним.
Обозначим:
- ( C(5, 4) ) — число способов выбрать 4 цели из 5 (это равно 5).
- Вероятность поразить 4 цели равна ( (0.9^2)^4 ).
- Вероятность промаха по одной цели равна ( (0.1^1) ).
Таким образом, вероятность поразить ровно 4 цели:
[
P2 = C(5, 4) \cdot (0.9^2)^4 \cdot (0.1^1) = 5 \cdot 0.9^8 \cdot 0.1
]
Теперь можем выразить ( P2 ):
[
P2 = 5 \cdot 0.9^8 \cdot 0.1
]
Шаг 3: Отношение вероятностей
Теперь найдем отношение вероятностей ( \frac{P1}{P2} ):
[
\frac{P1}{P2} = \frac{0.9^{10}}{5 \cdot 0.9^8 \cdot 0.1} = \frac{0.9^{10}}{0.5 \cdot 0.9^8} = \frac{0.9^{10-8}}{0.5} = \frac{0.9^2}{0.5}
]
Теперь подставим значения:
[
0.9^2 = 0.81
]
Ответ:
[
\frac{0.81}{0.5} = 1.62
]
Ответы
Вероятность события «лучник поразит ровно 5 целей»:
( P1 = 0.9^{10} )
Вероятность события «лучник поразит ровно 4 цели»:
( P2 = 5 \cdot 0.9^8 \cdot 0.1 )
Отношение вероятностей равно:
1.6 (округляя до десятых).
