Лучник делает выстрелы по пяти одинаковым целям. На каждую цель даётся не более двух выстрелов. Также известно, что вероятность попасть в цель отдельным выстрелом равна 0,9. Во…
Лучник делает выстрелы по пяти одинаковым целям. На каждую цель даётся не более двух выстрелов. Также известно, что вероятность попасть в цель отдельным выстрелом равна 0,9. Во сколько раз вероятность события «лучник поразит ровно 5 целей» больше вероятности события «лучник поразит ровно 4»? (Заполни пропуски в решении, запиши ответ. Ответ округли до десятых.) Вероятность события «лучник поразит ровно 5 целей» (запиши в виде степени): P1 = Вероятность события «лучник поразит ровно 4 цели» (второй множитель запиши в виде степени): P2 = Отношение вероятностей равно
Для решения данной задачи используем модель биномиального распределения, так как каждый выстрел можно рассматривать как независимое испытание с двумя исходами: попадание в цель и промах.
Мы известны:
- Вероятность попадания в цель \( p = 0.9 \).
- Вероятность промаха в цель \( q = 1 - p = 0.1 \).
- У нас 5 целей и на каждую цель даётся не более 2 выстрелов.
Шаг 1: Вероятность события «лучник поразит ровно 5 целей» (P1)
Для того чтобы поразить ровно 5 целей, лучник должен попасть по каждой из 5 целей (что требует 5 попаданий) из двух возможных выстрелов на каждую цель. Это может произойти следующим образом:
- По каждой из 5 целей будет сделано ровно 2 выстрела.
- На каждом выстреле вероятность попадания в цель равна 0.9.
То есть, вероятность того, что на каждом из двух выстрелов лучник попадет в цель, равна \( p^2 \).
Таким образом, вероятность поразить все 5 целей:
\[ P1 = (0.9^2)^5 = 0.9^{10} \]
Шаг 2: Вероятность события «лучник поразит ровно 4 цели» (P2)
Чтобы поразить ровно 4 цели, лучник должен поразить 4 цели, а одна цель должна быть промахнута. Рассмотрим вариант, когда 4 цели поражаются с 2 выстрелами, а одна из 5 целей - с одним.
Обозначим:
- \( C(5, 4) \) — число способов выбрать 4 цели из 5 (это равно 5).
- Вероятность поразить 4 цели равна \( (0.9^2)^4 \).
- Вероятность промаха по одной цели равна \( (0.1^1) \).
Таким образом, вероятность поразить ровно 4 цели:
\[ P2 = C(5, 4) \cdot (0.9^2)^4 \cdot (0.1^1) = 5 \cdot 0.9^8 \cdot 0.1 \]
Теперь можем выразить \( P2 \):
\[ P2 = 5 \cdot 0.9^8 \cdot 0.1 \]
Шаг 3: Отношение вероятностей
Теперь найдем отношение вероятностей \( \frac{P1}{P2} \):
\[ \frac{P1}{P2} = \frac{0.9^{10}}{5 \cdot 0.9^8 \cdot 0.1} = \frac{0.9^{10}}{0.5 \cdot 0.9^8} = \frac{0.9^{10-8}}{0.5} = \frac{0.9^2}{0.5} \]
Теперь подставим значения:
\[ 0.9^2 = 0.81 \]
Ответ:
\[ \frac{0.81}{0.5} = 1.62 \]
Ответы
Вероятность события «лучник поразит ровно 5 целей»:
\( P1 = 0.9^{10} \)Вероятность события «лучник поразит ровно 4 цели»:
\( P2 = 5 \cdot 0.9^8 \cdot 0.1 \)Отношение вероятностей равно:
1.6 (округляя до десятых).
