Какое равенство справедливо для любых чисел m m и n n и любых векторов s → s и t → t ?

Для любых чисел \( m \) и \( n \), а также любых векторов \( \mathbf{s} \) и \( \mathbf{t} \), справедливо следующее равенство, которое связывает числа и векторы:

\[ m \cdot \mathbf{s} + n \cdot \mathbf{t} = m \mathbf{s} + n \mathbf{t} \]

Пошаговое объяснение:

1. Масштабирование векторов: Когда мы умножаем вектор на число (например, \( m \cdot \mathbf{s} \)), мы масштабируем (или изменяем длину) этого вектора в \( m \) раз. То же самое происходит и с вектором \( \mathbf{t} \).

2. Сложение векторов: При сложении векторов, как в нашем случае, мы просто складываем два полученных вектора. Важно помнить, что векторная алгебра подчиняется определённым правилам, в частности, коммутативности и ассоциативности.

3. Пример: Если \( m = 2 \), \( n = 3 \), \( \mathbf{s} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \), и \( \mathbf{t} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \):

   • Масштабируем векторы: \[ m \cdot \mathbf{s} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \] \[ n \cdot \mathbf{t} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 12 \end{pmatrix} \]
   • Складываем: \[ m \cdot \mathbf{s} + n \cdot \mathbf{t} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 9 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 16 \end{pmatrix} \]

Таким образом, равенство справедливо для любых значений \( m \) и \( n \), а также для любых векторов \( \mathbf{s} \) и \( \mathbf{t} \).