Чтобы решить задачу, давайте пошагово разберёмся в терминах и используемых формулах.
Дано:
- Две хорды ( AB ) и ( AC ) равны.
- Угол ( \angle BAC = 30^\circ ).
Требуется найти:
Отношение площади сектора, заключённого в угле ( BAC ), к площади всего круга.
Шаг 1: Определение площади круга
Площадь круга ( S_{круга} ) определяется по формуле:
[
S_{круга} = \pi R^2
]
где ( R ) – радиус круга. Однако для начала мы не знаем радиус, и он не требуется, поскольку мы будем использовать отношение площадей.
Шаг 2: Определение площади сектора
Площадь сектора, образованного углом ( \theta ) (в радианах), вычисляется по формуле:
[
S_{сектора} = \frac{\theta}{2\pi} \cdot S_{круга}
]
Шаг 3: Перевод угла в радианы
Для нахождения площади сектора, нужно перевести угол из градусов в радианы. Угол ( 30^\circ ) в радианах равен:
[
30^\circ = \frac{30 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{6}
]
Шаг 4: Подстановка в формулу площади сектора
Теперь мы можем подставить значение угла в формулу для площади сектора:
[
S_{сектора} = \frac{\frac{\pi}{6}}{2\pi} \cdot \pi R^2
]
Сократим:
[
S_{сектора} = \frac{1}{12} \cdot \pi R^2
]
Шаг 5: Находим отношение площадей
Теперь находится отношение площади сектора к площади всего круга:
[
\text{Отношение} = \frac{S_{сектора}}{S_{круга}} = \frac{\frac{1}{12} \cdot \pi R^2}{\pi R^2}
]
Сократим ( \pi R^2 ):
[
\text{Отношение} = \frac{1}{12}
]
Ответ
Отношение площади сектора, заключённого в угле ( 30^\circ ), к площади всего круга равно ( \frac{1}{12} ).
