Хорды АВ и АС равны между собой. Образованный ими угол вписан в окружность и равен 30 градусов. Найдите отношение площади той части круга, которая заключёна в этом угле, к площади…

Чтобы решить задачу, давайте пошагово разберёмся в терминах и используемых формулах.

Дано:

• Две хорды \( AB \) и \( AC \) равны.
• Угол \( \angle BAC = 30^\circ \).

Требуется найти:

Отношение площади сектора, заключённого в угле \( BAC \), к площади всего круга.

Шаг 1: Определение площади круга

Площадь круга \( S_{круга} \) определяется по формуле: \[ S_{круга} = \pi R^2 \] где \( R \) – радиус круга. Однако для начала мы не знаем радиус, и он не требуется, поскольку мы будем использовать отношение площадей.

Шаг 2: Определение площади сектора

Площадь сектора, образованного углом \( \theta \) (в радианах), вычисляется по формуле: \[ S_{сектора} = \frac{\theta}{2\pi} \cdot S_{круга} \]

Шаг 3: Перевод угла в радианы

Для нахождения площади сектора, нужно перевести угол из градусов в радианы. Угол \( 30^\circ \) в радианах равен: \[ 30^\circ = \frac{30 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{6} \]

Шаг 4: Подстановка в формулу площади сектора

Теперь мы можем подставить значение угла в формулу для площади сектора: \[ S_{сектора} = \frac{\frac{\pi}{6}}{2\pi} \cdot \pi R^2 \] Сократим: \[ S_{сектора} = \frac{1}{12} \cdot \pi R^2 \]

Шаг 5: Находим отношение площадей

Теперь находится отношение площади сектора к площади всего круга: \[ \text{Отношение} = \frac{S_{сектора}}{S_{круга}} = \frac{\frac{1}{12} \cdot \pi R^2}{\pi R^2} \] Сократим \( \pi R^2 \): \[ \text{Отношение} = \frac{1}{12} \]

Ответ

Отношение площади сектора, заключённого в угле \( 30^\circ \), к площади всего круга равно \( \frac{1}{12} \).