Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, в которой ( b_5 = 11 ) и ( b_7 = 99 ), используем свойства геометрической прогрессии.
В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на знаменатель ( q ). Запишем формулы для пятого и седьмого членов:
[
b_5 = a \cdot q^4 = 11
]
[
b_7 = a \cdot q^6 = 99
]
Где ( a ) — первый член прогрессии.
Теперь можем выразить ( a ) и подставить в уравнение. Сначала выразим ( a ) из первого уравнения:
[
a = \frac{11}{q^4}
]
Теперь подставим это значение в уравнение для ( b_7 ):
[
b_7 = \frac{11}{q^4} \cdot q^6 = 99
]
Упростим:
[
\frac{11 \cdot q^2}{q^4} = 99 \implies 11q^2 = 99q^4
]
Теперь разделим обе стороны на 11:
[
q^2 = 9q^4
]
Перепишем уравнение:
[
9q^4 - q^2 = 0
]
Вынесем общий множитель:
[
q^2(9q^2 - 1) = 0
]
Из этого уравнения мы видим, что ( q^2 = 0 ) (это не подходит для знаменателя) или ( 9q^2 - 1 = 0 ).
Решаем второе уравнение:
[
9q^2 = 1 \implies q^2 = \frac{1}{9} \implies q = \frac{1}{3} \text{ или } q = -\frac{1}{3}
]
Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии ( q = \frac{1}{3} ) или ( q = -\frac{1}{3} ).
