log0,25(x²-5x+12)<=-1

Для решения неравенства \( \log_{0.25}(x^2 - 5x + 12) \leq -1 \) начнем с того, что неравенство с логарифмом требует применения свойств логарифмов и понимания, как работает сама функция.

Шаг 1: Перепишем логарифмическое неравенство

Неравенство \( \log_{0.25}(x^2 - 5x + 12) \leq -1 \) можно интерпретировать следующим образом:

\[ x^2 - 5x + 12 \leq 0.25^{-1} \]

Поскольку основание логарифма \( 0.25 \) меньше 1, при неравенстве с логарифмом знак неравенства изменяется. Таким образом, мы можем записать:

\[ x^2 - 5x + 12 \geq 4 \]

Это неравенство получаем из того, что \( 0.25^{-1} = 4 \).

Шаг 2: Преобразуем и решим неравенство

Теперь перепишем полученное неравенство:

\[ x^2 - 5x + 12 - 4 \geq 0 \] \[ x^2 - 5x + 8 \geq 0 \]

Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения

Здесь мы хотим найти корни квадратного уравнения \( x^2 - 5x + 8 = 0 \). Для этого используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7 \]

Так как дискриминант отрицательный, это означает, что параболы, описываемая уравнением \( x^2 - 5x + 8 \), нет действительных корней.

Шаг 4: Анализ знака

Поскольку парабола с положительным ведучим коэффициентом (1) никогда не пересекает ось \( x \), и её ветви направлены вверх, это означает, что выражение \( x^2 - 5x + 8 \) всегда больше 0 для всех \( x \).

Заключение

Таким образом, неравенство \( x^2 - 5x + 8 \geq 0 \) выполняется для всех \( x \).

Решение неравенства:

\[ \boxed{(-\infty; +\infty)} \]

Числовой ответ: все действительные числа.