Вычислить интеграл ∫3 1 (2𝑥2 + 3𝑥 + 1)𝑑𝑥. №2 Вычислить интеграл ∫ 𝜋 2 0 cos (𝑥)𝑑𝑥. №3 Вычислить интеграл∫2 1 𝑒2𝑥𝑑𝑥. №4 Вычислить интеграл ∫4 1 2√𝑥𝑑𝑥. №5 Вычислить…

Давайте вычислим каждый интеграл по очереди.

№1

\[ \int_{1}^{3} (2x^2 + 3x + 1) \, dx \]

Сначала найдем первообразную: \[ \int (2x^2 + 3x + 1) \, dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + C \] Теперь подставим пределы интегрирования: \[ \left[ \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x \right]_{1}^{3} = \left( \frac{2}{3}(3^3) + \frac{3}{2}(3^2) + 3 \right) - \left( \frac{2}{3}(1^3) + \frac{3}{2}(1^2) + 1 \right) \] Теперь считаем: \[ = \left( \frac{2}{3} \cdot 27 + \frac{3}{2} \cdot 9 + 3 \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 1 + 1 \right) \] \[ = \left( 18 + 13.5 + 3 \right) - \left( \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 1 \right) \] \[ = 34.5 - \left( \frac{2}{3} + 1.5 + 1 \right) = 34.5 - (4/3 + 3/2) = 34.5 - \frac{17}{6} \] Теперь приведем к общему знаменателю: \[ 34.5 = \frac{207}{6} \] Итак, \[ \frac{207}{6} - \frac{17}{6} = \frac{190}{6} = \frac{95}{3} \]

Ответ: \(\frac{95}{3}\)

№2

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \, dx \] Найдем первообразную: \[ \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \] Теперь подставим пределы: \[ \left[ \sin(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 \]

Ответ: \(1\)

№3

\[ \int_{1}^{2} e^{2x} \, dx \] Сначала найдем первообразную: \[ \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C \] Теперь подставим пределы: \[ \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{2} e^{4} - \frac{1}{2} e^{2} = \frac{1}{2} (e^{4} - e^{2}) \]

Ответ: \(\frac{1}{2}(e^{4} - e^{2})\)

№4

\[ \int_{1}^{4} 2\sqrt{x} \, dx \] Первообразная: \[ \int 2\sqrt{x} \, dx = \frac{2}{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C \] Подставим пределы: \[ \left[ \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} = \frac{4}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{4}{3} \cdot 1 \] \[ = \frac{32}{3} - \frac{4}{3} = \frac{28}{3} \]

Ответ: \(\frac{28}{3}\)

№5

\[ \int_{1}^{3} (2x + 1) \, dx \] Первообразная: \[ \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C \] Теперь подставим пределы: \[ \left[ x^2 + x \right]_{1}^{3} = (3^2 + 3) - (1^2 + 1) = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10 \]

Ответ: \(10\)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснение, дайте знать!