Давайте вычислим каждый интеграл по очереди.
№1
[
\int_{1}^{3} (2x^2 + 3x + 1) , dx
]
Сначала найдем первообразную:
[
\int (2x^2 + 3x + 1) , dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + C
]
Теперь подставим пределы интегрирования:
[
\left[ \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x \right]_{1}^{3} = \left( \frac{2}{3}(3^3) + \frac{3}{2}(3^2) + 3 \right) - \left( \frac{2}{3}(1^3) + \frac{3}{2}(1^2) + 1 \right)
]
Теперь считаем:
[
= \left( \frac{2}{3} \cdot 27 + \frac{3}{2} \cdot 9 + 3 \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 1 + 1 \right)
]
[
= \left( 18 + 13.5 + 3 \right) - \left( \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 1 \right)
]
[
= 34.5 - \left( \frac{2}{3} + 1.5 + 1 \right) = 34.5 - (4/3 + 3/2) = 34.5 - \frac{17}{6}
]
Теперь приведем к общему знаменателю:
[
34.5 = \frac{207}{6}
]
Итак,
[
\frac{207}{6} - \frac{17}{6} = \frac{190}{6} = \frac{95}{3}
]
Ответ: (\frac{95}{3})
№2
[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) , dx
]
Найдем первообразную:
[
\int \cos(x) , dx = \sin(x) + C
]
Теперь подставим пределы:
[
\left[ \sin(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1
]
Ответ: (1)
№3
[
\int_{1}^{2} e^{2x} , dx
]
Сначала найдем первообразную:
[
\int e^{2x} , dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C
]
Теперь подставим пределы:
[
\left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{2} e^{4} - \frac{1}{2} e^{2} = \frac{1}{2} (e^{4} - e^{2})
]
Ответ: (\frac{1}{2}(e^{4} - e^{2}))
№4
[
\int_{1}^{4} 2\sqrt{x} , dx
]
Первообразная:
[
\int 2\sqrt{x} , dx = \frac{2}{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C
]
Подставим пределы:
[
\left[ \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} = \frac{4}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{4}{3} \cdot 1
]
[
= \frac{32}{3} - \frac{4}{3} = \frac{28}{3}
]
Ответ: (\frac{28}{3})
№5
[
\int_{1}^{3} (2x + 1) , dx
]
Первообразная:
[
\int (2x + 1) , dx = x^2 + x + C
]
Теперь подставим пределы:
[
\left[ x^2 + x \right]_{1}^{3} = (3^2 + 3) - (1^2 + 1) = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10
]
Ответ: (10)
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснение, дайте знать!
