**Условие:** Камень бросают в глубокое ущелье. В первую секунду он пролетает 13 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не…

Для того чтобы решить задачу о том, сколько метров пролетит камень за первые пять секунд, давайте проанализируем данные.

1. Первый шаг: Определим, сколько метров пролетел камень в каждую секунду.

   • В первую секунду камень пролетает 13 метров.
   • Во вторую секунду пролетит на 10 метров больше, чем в первую: \( 13 + 10 = 23 \) метра.
   • В третью секунду: \( 23 + 10 = 33 \) метра.
   • В четвертую секунду: \( 33 + 10 = 43 \) метра.
   • В пятую секунду: \( 43 + 10 = 53 \) метра.

2. Записываем результаты:

   • 1-я секунда: 13 м
   • 2-я секунда: 23 м
   • 3-я секунда: 33 м
   • 4-я секунда: 43 м
   • 5-я секунда: 53 м

3. Второй шаг: Теперь сложим расстояния, пройденные камнем за каждую из пяти секунд: \[ 13 + 23 + 33 + 43 + 53 \]

4. Проводим вычисления:

   • Сначала сложим 13 и 23: \[ 13 + 23 = 36 \]
   • Далее добавим 33: \[ 36 + 33 = 69 \]
   • Затем добавим 43: \[ 69 + 43 = 112 \]
   • И последний шаг добавим 53: \[ 112 + 53 = 165 \]

Таким образом, за первые пять секунд камень пролетит 165 метров.

Ответ: 165 метров.