15.11. Как расположены относительно друг друга сфера и прямая, если радиус сферы равен 6 см, а прямая удалена от ее центра на: а) 5 см; б) 6 см; в) 7 см? 15.12. Радиус сферы равен 3 см. Длина отрезка касательной, проведенной через данную точку к данной сфере, равна 4 см. Найдите расстояние от данной точки до центра сферы. 15.13. Радиус сферы равен 6 см. Расстояние от точки до центра сферы равно 10 см. Найдите длину отрезка касательной. 15.14. Расстояние от точки до центра сферы равно 13 см. Длина отрезка касательной, проведенной через данную точку к данной сфере, равна 12 см. Найдите радиус сферы. 15.15. Как расположены между собой сфера, заданная уравнением x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 и плоскость, заданная уравнением: а) z = 1 ; 6) z = 2 B) z = 3% 15.16. Как расположены между собой сфера, заданная уравнением (x - 1) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 + z ^ 2 = 16 и плоскость, заданная уравнением: а) y + 1 = 0; 6 ) y - 1 = 0 в) y = 2

Давайте разберем каждую из задач по порядку. ### Задача 15.11 **Условия:** Радиус сферы равен 6 см. Мы рассматриваем три случая, в которых прямая удалена от центра сферы на 5 см, 6 см и 7 см. 1. **Случай а) 5 см:** - Расстояние от центра до прямой (d) равно 5 см, что меньше радиуса сферы (R = 6 см). - Поскольку d < R, прямая будет пересекаться со сферой (она проходит через сферу). 2. **Случай б) 6 см:** - Расстояние d = 6 см, что равно радиусу R. - В этом случае прямая будет касаться сферы (в ней есть одна точка, в которой прямая касается сферы). 3. **Случай в) 7 см:** - Расстояние d = 7 см, что больше радиуса R. - В этом случае прямая не пересекает и не касается сферы (она находится вне сферы). ### Задача 15.12 **Условия:** Радиус сферы = 3 см, длина отрезка касательной = 4 см. Чтобы найти расстояние от точки до центра сферы (d), используем теорему Пифагора: - \( d^2 = R^2 + T^2 \), где R — радиус сферы, T — длина касательной. Подставляем известные значения: \[ d^2 = 3^2 + 4^2 \] \[ d^2 = 9 + 16 \] \[ d^2 = 25 \] \[ d = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \] ### Задача 15.13 **Условия:** Радиус сферы = 6 см, расстояние от точки до центра сферы d = 10 см. Используем ту же теорему Пифагора для нахождения длины отрезка касательной T: \[ d^2 = R^2 + T^2 \] Подставляем известные значения: \[ 10^2 = 6^2 + T^2 \] \[ 100 = 36 + T^2 \] \[ T^2 = 100 - 36 \] \[ T^2 = 64 \] \[ T = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \] ### Задача 15.14 **Условия:** Расстояние от точки до центра сферы = 13 см, длина отрезка касательной = 12 см. Необходимо найти радиус сферы R. Снова применяем теорему Пифагора: \[ d^2 = R^2 + T^2 \] \[ 13^2 = R^2 + 12^2 \] \[ 169 = R^2 + 144 \] \[ R^2 = 169 - 144 \] \[ R^2 = 25 \] \[ R = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \] ### Задача 15.15 **Условия:** Сфера задана уравнением \( x^2 + y^2 + z^2 = 4 \) (радиус R = 2), исследуем положение относительно плоскостей z = 1, z = 2, z = 3. 1. **Случай а) z = 1:** - Плоскость z = 1 находится на расстоянии 1 см от центра по оси Z. Поскольку это меньше радиуса сферы (2 см), сфера и плоскость пересекаются. 2. **Случай б) z = 2:** - Плоскость z = 2 находится на границе сферы. Также пересекает сферу в одной точке. 3. **Случай в) z = 3:** - Плоскость z = 3 находится на расстоянии 1 см от верхней точки сферы. Она не пересекает и не касается сферы. ### Задача 15.16 **Условия:** Сфера задана уравнением \( (x - 1)^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 16 \) (радиус R = 4), исследуем по отношению к плоскостям y + 1 = 0, y - 1 = 0, y = 2. 1. **Случай а) y + 1 = 0 (y = -1):** - Плоскость y = -1 пересекает сферу, так как -1 находится между центром на -3 (по оси y) и верхней границей на 1. 2. **Случай б) y - 1 = 0 (y = 1):** - Плоскость y = 1 находится выше верхней границы сферы, следовательно, она не пересекает сферу. 3. **Случай в) y = 2:** - Плоскость y = 2 также выше верхней границы сферы, значит, не пересекает сферу. Эти результаты иллюстрируют, как расположены сфера и прямая или плоскость. Если есть вопросы или необходимы дополнительные объяснения, не стесняйтесь спрашивать!