В классе 14 девочек и 12 мальчиков . Сколькими способами можно выделить группу из трех человек, если нужно выбрать трех девочек?
Для решения этой задачи нам нужно найти количество способов выбрать 3 девочек из 14 доступных. Это классическая задача на выбор, которая решается с помощью комбинаторики.
Мы будем использовать формулу для сочетаний, которая выглядит так:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где:
- \( n \) — это общее количество элементов (в нашем случае, девочек),
- \( k \) — количество элементов, которые мы хотим выбрать,
- \( n! \) — факториал числа \( n \), который равен произведению всех положительных целых чисел от 1 до \( n \).
В нашем случае:
- \( n = 14 \) (количество девочек),
- \( k = 3 \) (количество девочек, которое мы хотим выбрать).
Теперь подставим значения в формулу:
\[ C(14, 3) = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3! \cdot 11!} \]
Обратите внимание, что \( 14! \) можно разложить на произведение:
\[ 14! = 14 \times 13 \times 12 \times 11! \]
Поэтому мы можем упростить формулу:
\[ C(14, 3) = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11!}{3! \times 11!} \]
Теперь \( 11! \) в числителе и знаменателе сокращаются:
\[ C(14, 3) = \frac{14 \times 13 \times 12}{3!} \]
Теперь вычислим \( 3! \):
\[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]
Теперь подставим значение \( 3! \) в нашу формулу:
\[ C(14, 3) = \frac{14 \times 13 \times 12}{6} \]
Теперь произведем вычисления в числителе:
\[ 14 \times 13 = 182 \]
\[ 182 \times 12 = 2184 \]
Теперь делим на 6:
\[ C(14, 3) = \frac{2184}{6} = 364 \]
Таким образом, количество способов выбрать 3 девочек из 14 равно 364.
