Лодка прошла по течению реки 75км,затем повернула и прошла путь в 45км против течения,затратив на весь путь 10 часов.Найди скорость лодки,если скорость течения 3км/ч
Для решения задачи давайте обозначим скорость лодки в стоячей воде как \( v \) км/ч. У нас есть информация о скорости течения реки, которая равна 3 км/ч.
Шаг 1: Определение скорости лодки
Когда лодка плывёт по течению, её общая скорость составляет: \[ v + 3 \text{ км/ч} \]
Когда лодка возвращается против течения, её скорость будет: \[ v - 3 \text{ км/ч} \]
Шаг 2: Определение времени в пути
Теперь нам нужно определить время, которое лодка затратила на каждую часть пути.
По течению: Лодка преодолела 75 км. Время, затраченное на этот путь, можно выразить как: \[ t_1 = \frac{75}{v + 3} \]
Против течения: Лодка прошла 45 км. Время в этом случае будет: \[ t_2 = \frac{45}{v - 3} \]
Шаг 3: Составление уравнения
По условию задачи известно, что общее время в пути составило 10 часов: \[ t_1 + t_2 = 10 \]
Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{75}{v + 3} + \frac{45}{v - 3} = 10 \]
Шаг 4: Умножение на знаменатели
Чтобы устранить дроби, умножим обе стороны уравнения на общее произведение знаменателей \((v + 3)(v - 3)\): \[ 75(v - 3) + 45(v + 3) = 10(v + 3)(v - 3) \]
Шаг 5: Раскрытие скобок
Теперь раскроем скобки: \[ 75v - 225 + 45v + 135 = 10(v^2 - 9) \] \[ 120v - 90 = 10v^2 - 90 \]
Шаг 6: Приведение к квадратному уравнению
Приведем все к одной стороне, чтобы получить квадратное уравнение: \[ 10v^2 - 120v = 0 \]
Шаг 7: Вынесение общего множителя
Вынесем \( 10v \) за скобки: \[ 10v(v - 12) = 0 \]
Шаг 8: Нахождение корней
Это уравнение имеет два корня:
- \( v = 0 \) (неподходящий корень, так как скорость лодки не может быть нулевой).
- \( v = 12 \) (реальный корень).
Шаг 9: Найденная скорость лодки
Итак, скорость лодки в стоячей воде составляет: \[ \boxed{12} \text{ км/ч} \]
Теперь мы можем проверить решение, чтобы убедиться, что все правильно. Подставим значение \( v = 12 \) обратно в уравнение времени:
- По течению: \( t_1 = \frac{75}{12 + 3} = \frac{75}{15} = 5 \) часов.
- Против течения: \( t_2 = \frac{45}{12 - 3} = \frac{45}{9} = 5 \) часов.
Общее время: \[ t_1 + t_2 = 5 + 5 = 10 \text{ часов} \quad (всё верно!) \]
Ответ: скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.
