Один из углов прямоугольного треугольника равен 60⁰, а разность гипетенузы и меньшего катета равна 4 см. Найдите эти стороны треугольника

Для решения задачи о прямоугольном треугольнике с одним из углов, равным \(60^\circ\), и известной разностью гипотенузы и меньшего катета, следуем шаг за шагом. 1. **Обозначение сторон треугольника**: - Обозначим гипотенузу как \(c\). - Обозначим меньший катет (катет, противолежащий углу \(60^\circ\)) как \(a\). - Так как угол \(60^\circ\) является противолежащим углу \(30^\circ\) (поскольку сумма углов в треугольнике составляет \(180^\circ\), а один угол \(90^\circ\)), обозначим больший катет как \(b\) (катет, прилежащий к углу \(60^\circ\)). 2. **Используем тригонометрические отношения**: - Для прямоугольного треугольника с углом \(60^\circ\) имеем: - \( \sin(60^\circ) = \frac{a}{c} \) - \( a = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \) - Для другого катета: - \( \cos(60^\circ) = \frac{b}{c} \) - \( b = c \cdot \cos(60^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} \) 3. **Составление уравнения с разностью сторон**: - По условию задачи разность гипотенузы и меньшего катета равна 4 см: \[ c - a = 4 \text{ см} \] - Подставляем значение \(a\): \[ c - c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \] - Можно вынести \(c\ за скобки: \[ c\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 4 \] - Теперь решим это уравнение для \(c\): \[ c = \frac{4}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} \] Чтобы упростить выражение, можем привести к общему знаменателю: \[ c = \frac{4}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{2 - \sqrt{3}} \] 4. **Умножение числителя и знаменателя на сопряженное выражение**: - Для удобства, умножим числитель и знаменатель на \(2 + \sqrt{3}\): \[ c = \frac{8(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{8(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 8(2 + \sqrt{3}) \] - Таким образом: \[ c = 16 + 8\sqrt{3} \text{ см} \] 5. **Нахождение \(a\)**: - Теперь найдем меньший катет \(a\): \[ a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = (16 + 8\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} + 12 \text{ см} \] 6. **Нахождение \(b\)**: - Найдем больший катет \(b\): \[ b = c \cdot \frac{1}{2} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{2} = 8 + 4\sqrt{3} \text{ см} \] Итак, стороны прямоугольного треугольника: - Гипотенуза: \(16 + 8\sqrt{3} \text{ см}\) - Меньший катет: \(8\sqrt{3} + 12 \text{ см}\) - Больший катет: \(8 + 4\sqrt{3} \text{ см}\) Это подробное решение задачи ровно как и требовалось. Если появятся дополнительные вопросы или нужны пояснения, всегда готов помочь!