Найдите шестой член и сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn), b1 = —64, а знаменатель q= 1/2
В геометрической прогрессии (ГП) \( b_n \) каждый член прогрессии может быть найден по формуле:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \]
где:
- \( b_1 \) — первый член прогрессии,
- \( q \) — знаменатель (коэффициент),
- \( n \) — номер члена прогрессии.
В вашем случае:
- \( b_1 = -64 \)
- \( q = \frac{1}{2} \)
Сначала найдем шестой член прогрессии (\( b_6 \)):
\[ b_6 = b_1 \cdot q^{(6-1)} = -64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5} \]
Теперь вычислим значение:
\[ b_6 = -64 \cdot \frac{1}{32} = -2 \]
Теперь найдем сумму первых пяти членов (\( S_5 \)) геометрической прогрессии. Формула для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:
\[ S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \]
В нашем случае для первых пяти членов (\( n = 5 \)):
\[ S_5 = -64 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5}{1 - \frac{1}{2}} \]
Теперь подставим значения:
\[ S_5 = -64 \cdot \frac{1 - \frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} \]
Упрощаем:
\[ S_5 = -64 \cdot \frac{\frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} = -64 \cdot \frac{31}{32} \cdot 2 = -64 \cdot \frac{62}{32} = -64 \cdot \frac{31}{16} \]
Теперь можно быстрее получить результат:
\[ -64 \cdot \frac{31}{16} = -4 \cdot 31 = -124 \]
Таким образом, шестой член прогрессии:
\[ b_6 = -2 \]
Сумма пяти первых членов:
\[ S_5 = -124 \]
Ответы:
- Шестой член \( b_6 = -2 \)
- Сумма первых пяти членов \( S_5 = -124 \)
