В геометрической прогрессии (ГП) ( b_n ) каждый член прогрессии может быть найден по формуле:
[
b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}
]
где:
- ( b_1 ) — первый член прогрессии,
- ( q ) — знаменатель (коэффициент),
- ( n ) — номер члена прогрессии.
В вашем случае:
- ( b_1 = -64 )
- ( q = \frac{1}{2} )
Сначала найдем шестой член прогрессии (( b_6 )):
[
b_6 = b_1 \cdot q^{(6-1)} = -64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5}
]
Теперь вычислим значение:
[
b_6 = -64 \cdot \frac{1}{32} = -2
]
Теперь найдем сумму первых пяти членов (( S_5 )) геометрической прогрессии. Формула для суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии:
[
S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
]
В нашем случае для первых пяти членов (( n = 5 )):
[
S_5 = -64 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5}{1 - \frac{1}{2}}
]
Теперь подставим значения:
[
S_5 = -64 \cdot \frac{1 - \frac{1}{32}}{\frac{1}{2}}
]
Упрощаем:
[
S_5 = -64 \cdot \frac{\frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} = -64 \cdot \frac{31}{32} \cdot 2 = -64 \cdot \frac{62}{32} = -64 \cdot \frac{31}{16}
]
Теперь можно быстрее получить результат:
[
-64 \cdot \frac{31}{16} = -4 \cdot 31 = -124
]
Таким образом, шестой член прогрессии:
[
b_6 = -2
]
Сумма пяти первых членов:
[
S_5 = -124
]
Ответы:
- Шестой член ( b_6 = -2 )
- Сумма первых пяти членов ( S_5 = -124 )
