Разберем каждое из предложений, чтобы понять правильность данных объяснений по написанию слов:
НИ У КАКОГО — НИ с определительным местоимением пишется раздельно.
Объяснение: Это верное утверждение. Частица "ни" действительно пишется раздельно с местоимениями (например, "ни у какого", "ни один").(дуб) МОГУЧ — в кратких прилагательных после шипящих на конце слова буква Ь не пишется.
Объяснение: Это неверно. Краткие прилагательные могут писать "Ь" на конце, например, "могу́ч" (форма "могу́ча"). В данном случае данное правило описано неверно.НЕНАСТНАЯ (погода) — прилагательное пишется слитно с НЕ, потому что его можно заменить синонимом без НЕ.
Объяснение: Это верное утверждение. Слова "ненастная" действительно пишутся слитно, так как синонимом будет "пасмурная".БАБОЧКА — в сочетании ЧК буква Ь не пишется.
Объяснение: Это неверное утверждение. В слове "бабочка" буква "Ь" не написана, но это не связано специфически с сочетанием "ЧК". Правила о правописании не дают оснований сделать такое обобщение.РОЗЫГРЫШ — после русской приставки, оканчивающейся на согласный, пишется буква Ы.
Объяснение: Это верное утверждение. Приставка "роз-" оканчивается на согласный, и в основном словах корень "ыгрыш" будет иметь "Ы".
Таким образом, правильные варианты с верными объяснениями — это: 1, 3, 5.