Т. Решите системы уравнений: a) x-y=4,\\ xy + y ^ 2 = 6 ; 6) xy=12,\\ x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Давайте решим системы уравнений по очереди, начиная с первой.

Часть (a)

Система уравнений:

1. \( x - y = 4 \) (1)
2. \( xy + y^2 = 6 \) (2)

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую

Из первого уравнения (1) выразим \( x \) через \( y \): \[ x = y + 4 \]

Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение

Теперь подставим \( x = y + 4 \) во второе уравнение (2): \[ (y + 4)y + y^2 = 6 \] Раскроем скобки: \[ y^2 + 4y + y^2 = 6 \] Соберем подобные: \[ 2y^2 + 4y - 6 = 0 \]

Шаг 3: Упростим уравнение

Разделим все члены на 2: \[ y^2 + 2y - 3 = 0 \]

Шаг 4: Найдем корни уравнения

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] Корни уравнения можно найти по формуле: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Получаем два корня: \[ y_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]

Шаг 5: Найдем соответствующие \( x \)

Теперь найдем \( x \) для каждого значения \( y \):

1. Если \( y = 1 \): \[ x = 1 + 4 = 5 \]
2. Если \( y = -3 \): \[ x = -3 + 4 = 1 \]

Ответ для первой системы:

\[ (x, y) = (5, 1) \quad \text{и} \quad (1, -3) \]

Часть (6)

Система уравнений:

1. \( xy = 12 \) (3)
2. \( x^2 + y^2 = 25 \) (4)

Шаг 1: Выразим \( y \) через \( x \)

Из уравнения (3) выразим \( y \): \[ y = \frac{12}{x} \]

Шаг 2: Подставим это выражение во второе уравнение

Теперь подставим \( y = \frac{12}{x} \) во второе уравнение (4): \[ x^2 + \left( \frac{12}{x} \right)^2 = 25 \] Упростим: \[ x^2 + \frac{144}{x^2} = 25 \] Умножим на \( x^2 \) (при условии \( x \neq 0 \)): \[ x^4 - 25x^2 + 144 = 0 \] Обозначим \( z = x^2 \). Тогда получаем квадратное уравнение: \[ z^2 - 25z + 144 = 0 \]

Шаг 3: Найдем дискриминант

Находим дискриминант: \[ D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49 \]

Шаг 4: Найдем корни уравнения

Корни уравнения: \[ z_{1,2} = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{25 \pm 7}{2} \] Получаем: \[ z_1 = \frac{32}{2} = 16, \quad z_2 = \frac{18}{2} = 9 \]

Шаг 5: Найдем \( x \) и \( y \)

Теперь вернемся к \( x^2 = z \):

1. Если \( z = 16 \): \[ x^2 = 16 \implies x = 4 \text{ или } x = -4 \] Подставляем в \( y \): \[ y = \frac{12}{4} = 3 \quad \text{или} \quad y = \frac{12}{-4} = -3 \]

2. Если \( z = 9 \): \[ x^2 = 9 \implies x = 3 \text{ или } x = -3 \] Подставляем в \( y \): \[ y = \frac{12}{3} = 4 \quad \text{или} \quad y = \frac{12}{-3} = -4 \]

Ответ для второй системы:

\[ (x, y) = (4, 3), \quad (3, 4), \quad (-4, -3), \quad (-3, -4) \]

Теперь у вас есть полный разбор обеих систем уравнений! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!