Задача. Спортсмены проводили подготовку к соревнованиям по стрельбе из лука. Оба спортсмена произвели по 7 серий выстрелов. Каждая серия состояла из 12 выстрелов. По итогам каждой…
Задача. Спортсмены проводили подготовку к соревнованиям по стрельбе из лука. Оба спортсмена произвели по 7 серий выстрелов. Каждая серия состояла из 12 выстрелов. По итогам каждой серии подведены результаты попадания в цель. Получили следующие данные: Спортсмен I: 11, 11, 12, 11, 9, 11, 12. Спортсмен II: 12, 10, 9, 12, 11, 12, 11. Кто лучше готов к соревнованиям? Составить таблицу отклонений. Вычислять дисперсию. Вычислите стандартное отклонение (среднее квадратичное)
Чтобы решить данную задачу, начнем с того, что нам нужно сравнить результаты двух спортсменов и оценить их подготовленность на основе данных о попаданиях. Мы составим таблицу отклонений, вычислим дисперсию и стандартное отклонение.
Шаг 1: Сбор данных
Данные о попаданиях спортсменов:
- Спортсмен I: 11, 11, 12, 11, 9, 11, 12
- Спортсмен II: 12, 10, 9, 12, 11, 12, 11
Шаг 2: Вычисление средних значений для обоих спортсменов
Сначала вычислим средние значения для обоих спортсменов.
Для Спортсмена I: \[ \text{Среднее} = \frac{(11 + 11 + 12 + 11 + 9 + 11 + 12)}{7} = \frac{ 11 + 11 + 12 + 11 + 9 + 11 + 12 }{7} = \frac{75}{7} \approx 10.71 \]
Для Спортсмена II: \[ \text{Среднее} = \frac{(12 + 10 + 9 + 12 + 11 + 12 + 11)}{7} = \frac{ 12 + 10 + 9 + 12 + 11 + 12 + 11 }{7} = \frac{77}{7} \approx 11 \]
Шаг 3: Построение таблицы отклонений
Теперь составим таблицу отклонений, которая показывает отклонение каждой серии от среднего значения.
| Серия | Спортсмен I | Отклонение I (xi - x̄ I) | Спортсмен II | Отклонение II (xi - x̄ II) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 11 | 11 - 10.71 = 0.29 | 12 | 12 - 11 = 1 |
| 2 | 11 | 11 - 10.71 = 0.29 | 10 | 10 - 11 = -1 |
| 3 | 12 | 12 - 10.71 = 1.29 | 9 | 9 - 11 = -2 |
| 4 | 11 | 11 - 10.71 = 0.29 | 12 | 12 - 11 = 1 |
| 5 | 9 | 9 - 10.71 = -1.71 | 11 | 11 - 11 = 0 |
| 6 | 11 | 11 - 10.71 = 0.29 | 12 | 12 - 11 = 1 |
| 7 | 12 | 12 - 10.71 = 1.29 | 11 | 11 - 11 = 0 |
Шаг 4: Вычисление дисперсии
Дисперсия (D) рассчитывается по формуле: \[ D = \frac{\sum{(xi - x̄)^2}}{n} \]
Для Спортсмена I: \[ D_I = \frac{(0.29)^2 + (0.29)^2 + (1.29)^2 + (0.29)^2 + (-1.71)^2 + (0.29)^2 + (1.29)^2}{7} \] \[ = \frac{(0.0841) + (0.0841) + (1.6641) + (0.0841) + (2.9241) + (0.0841) + (1.6641)}{7} \] \[ = \frac{6.591}{7} \approx 0.94157 \]
Для Спортсмена II: \[ D_{II} = \frac{(1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 + (1)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (0)^2}{7} \] \[ = \frac{1 + 1 + 4 + 1 + 0 + 1 + 0}{7} = \frac{8}{7} \approx 1.142857 \]
Шаг 5: Вычисление стандартного отклонения
Стандартное отклонение (σ) — это корень из дисперсии: \[ \sigma = \sqrt{D} \]
Для Спортсмена I: \[ \sigma_I = \sqrt{0.94157} \approx 0.9705 \]
Для Спортсмена II: \[ \sigma_{II} = \sqrt{1.142857} \approx 1.0707 \]
Шаг 6: Сравнение результатов
Теперь, когда мы имеем средние значения, дисперсии и стандартные отклонения, мы можем сравнить спортсменов.
- Среднее у Спортсмена II (11) выше, чем у Спортсмена I (10.71).
- Стандартное отклонение у Спортсмена II (1.0707) больше, чем у Спортсмена I (0.9705), что может означать, что его результаты менее предсказуемы и более вариативны.
Вывод: Спортсмен II имеет более высокие средние результаты, но его стрельба более переменная. Спортсмен I демонстрирует более стабильные результаты. Следовательно, в зависимости от важности стабильности или высокой средней оценки, можно оценить их готовность по-разному. Но по среднему значению, Спортсмен II немного лучше готов к соревнованиям.
