Давайте проанализируем каждый из предложенных вариантов объяснений написания выделенных слов.
ПО-ВЕСЕННЕМУ (тепло) — это слово действительно пишется через дефис. Объяснение правильное: наречие образуется от существительного ("весенний") с помощью приставки "по-" и суффикса "-ему".
ПРИГОРАТЬ — в данном слове действительно может возникать чередование гласных (пригореть — пригревать). Однако написание "ПРИГОРАТЬ" не связано с суффиксом "-А-", поэтому объяснение неверное. Правильная буква в корне не определяется этим суффиксом.
НЕ ДОЛЖЕН — частица "не" с глаголами (в данном случае "должен") пишется раздельно, так как "должен" является независимым словом. Объяснение корректное.
СТАРИННЫЙ — действительно, это прилагательное образуется от существительного с помощью образующего суффикса "-Н-", и пишется с двумя "Н". Объяснение правильное.
ПРИСОЕДИНИТЬ — приставка "при-" в данном случае не имеет значения "расположение вблизи", а обозначает присоединение. Поэтому объяснение неверное.
Теперь подведем итоги. Верные объяснения содержатся в следующих вариантах:
- ПО-ВЕСЕННЕМУ
- НЕ ДОЛЖЕН
- СТАРИННЫЙ
Итак, номера ответов, в которых даны верные объяснения, это: 1, 3, 4.