Чтобы определить основание системы счисления, в которой десятичное число 98 записывается как 118, нужно понимать, как работает перевод чисел между системами счисления.
Шаг 1: Записать значение числа в данной системе
Число 118 в системе счисления с основанием ( b ) можно представить следующим образом:
[
1 \cdot b^2 + 1 \cdot b^1 + 8 \cdot b^0
]
Шаг 2: Упрощение выражения
Запишем это более явно:
[
1 \cdot b^2 + 1 \cdot b + 8
]
Шаг 3: Запись уравнения
Поскольку мы знаем, что это выражение равно 98, мы можем записать уравнение:
[
b^2 + b + 8 = 98
]
Шаг 4: Привести уравнение к стандартному виду
Теперь привезём всё к одной стороне:
[
b^2 + b + 8 - 98 = 0
]
Это уравнение становится:
[
b^2 + b - 90 = 0
]
Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1, b = 1, c = -90 ).
Подставляем значения:
[
D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361
]
Теперь вычисляем корни уравнения по формуле:
[
b = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}
]
Подставляем наши значения:
[
b = \frac{-1 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 19}{2}
]
Шаг 6: Находим возможные значения
Теперь вычислим два корня:
- ( b_1 = \frac{-1 + 19}{2} = \frac{18}{2} = 9 )
- ( b_2 = \frac{-1 - 19}{2} = \frac{-20}{2} = -10 ) (отрицательное значение для основания не подходит)
Заключение
Таким образом, основание системы счисления, в которой десятичное число 98 записывается как 118, равно ( 9 ).
