Найди площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна 2 π 2π , а угол сектора равен 6 0 ∘ 60 ∘ . В ответ запиши площадь, делённую на π π .

Чтобы найти площадь кругового сектора, можно воспользоваться следующей формулой:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \theta \]

где \( S \) — площадь сектора, \( r \) — радиус, а \( \theta \) — угол в радианах.

1. Преобразуем угол в радианы: Угол сектора у нас задан в градусах, его нужно преобразовать в радианы. Для этого используем формулу:

   \[ \theta_{\text{рад}} = \frac{\theta_{\text{град}} \cdot \pi}{180} \]

   Подставляем наш угол:

   \[ \theta = \frac{60 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{3} \]

2. Найдем радиус: У нас есть длина дуги сектора, которая равна \( 2\pi \). Длина дуги сектора \( L \) рассчитывается по формуле:

   \[ L = r \cdot \theta \]

   Подставляем известные значения:

   \[ 2\pi = r \cdot \frac{\pi}{3} \]

   Теперь решим уравнение относительно \( r \):

   \[ r = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 2 \cdot 3 = 6 \]

3. Теперь подставим радиус и угол в формулу для площади:

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \theta = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \frac{\pi}{3} \]

   Считаем:

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{36\pi}{6} = 6\pi \]

4. Записываем площадь, делённую на π:

   Чтобы найти площадь круга, делённую на \( \pi \), делим \( S \) на \( \pi \):

   \[ \frac{S}{\pi} = \frac{6\pi}{\pi} = 6 \]

Таким образом, площадь кругового сектора, делённая на \( \pi \), равна 6.