Трехзначные натуральные числа делят на сумму их цифр. Известно, что полученное частное − целое число. а) Может ли получиться 13 ? б) Может ли получиться 6 ? в) Какое наибольшее частное может получиться, если число не делится на 100 , а его первая цифра равна 6 ?

Чтобы понять и решить предложенные задачи, рассмотрим трехзначные натуральные числа и свойства деления. Трехзначное число можно представить как \( abc \), где \( a \), \( b \), и \( c \) — это его цифры, а \( a \) — первая цифра, которая не может быть равна 0. Тогда само число можно представить в виде: \[ N = 100a + 10b + c \] Сумма цифр этого числа будет \[ S = a + b + c \] Теперь мы изучаем, делится ли число \( N \) на сумму его цифр \( S \). Нам нужно выяснить, может ли частное \( \frac{N}{S} \) быть равно указанным числам. ### а) Может ли получиться 13? Нам нужно выяснить, существует ли такое трехзначное число \( N \), что: \[ \frac{N}{S} = 13 \] Отсюда получаем: \[ N = 13S \] Поскольку \( S = a + b + c \), то подставляем это: \[ N = 13(a + b + c) \] Теперь найдем ограничения на \( N \). Так как \( N \) - это трехзначное число, то: \[ 100 \leq N < 1000 \] Это неравенство подставим в выражение для \( N \): \[ 100 \leq 13(a + b + c) < 1000 \] Поделим все части на 13: \[ \frac{100}{13} \leq a + b + c < \frac{1000}{13} \] Приблизительно считаем: \[ 7.69 \leq a + b + c < 76.92 \] Таким образом, \( a + b + c \) может принимать значения от 8 до 76. Но максимальная сумма трех цифр \( a + b + c \) равна 27 (если \( a = 9, b = 9, c = 9 \)). Значит, мы рассматриваем диапазон: \[ 8 \leq a + b + c \leq 27 \] Теперь выразим \( N \): Проверим несколько значений суммы \( S \): - Для \( S = 8 \): \( N = 13 \cdot 8 = 104 \) (можно, так как 104 делится на 8) - Для \( S = 9 \): \( N = 13 \cdot 9 = 117 \) (можно, так как 117 делится на 9) - Для \( S = 10 \): \( N = 13 \cdot 10 = 130 \) (можно) - ... - Для \( S = 27 \): \( N = 13 \cdot 27 = 351 \) (можно) Все такие \( S \) действительны, и деление дает целые числа. Таким образом, ответ на вопрос: **Да, может.** ### б) Может ли получиться 6? Теперь сделаем то же самое для частного \( 6 \): \[ \frac{N}{S} = 6 \quad \Rightarrow \quad N = 6S \] Аналогично, подставим это в ограничение на \( N \): \[ 100 \leq 6(a + b + c) < 1000 \] Разделим на 6: \[ \frac{100}{6} \leq a + b + c < \frac{1000}{6} \] Приблизительно считаем: \[ 16.67 \leq a + b + c < 166.67 \] Так как сумма трех цифр не может превышать 27, то мы имеем: \[ 17 \leq a + b + c \leq 27 \] Проверим несколько значений \( S \): - Для \( S = 17 \): \( N = 6 \cdot 17 = 102 \) (можно) - Для \( S = 18 \): \( N = 6 \cdot 18 = 108 \) (можно) - Для \( S = 19 \): \( N = 6 \cdot 19 = 114 \) (можно) - ... Все эти числа делятся на свои суммы. Поэтому ответ на вопрос: **Да, может.** ### в) Какое наибольшее частное может получиться, если число не делится на 100, а его первая цифра равна 6? В данном случае, учитываем, что \( a = 6 \). Значит число может быть представлено как: \[ N = 600 + 10b + c \] Сумма цифр в этом случае: \[ S = 6 + b + c \] И нам нужно максимизировать \( \frac{N}{S} = \frac{600 + 10b + c}{6 + b + c} \). Для максимизации этого выражения можно использовать подстановку и анализировать его значения, но чтобы облегчить задачу, давайте сформируем еще один подход. Пусть \( b \) и \( c \) максимизируются. Максимальные значения \( b \) и \( c \) равны 9: - Для \( b = 9 \), \( c = 9 \): В этом случае: \[ N = 600 + 90 + 9 = 699 \] \[ S = 6 + 9 + 9 = 24 \] Теперь вычисляем: \[ \frac{699}{24} \approx 29.125 \] Попробуем поменять \( b \) и \( c \) на меньшее значение, с целью увеличения частного. Важно, что в этой задаче, как правило, с уменьшением суммы \( S \) мы получим большее значение частного. Если уменьшить только на 1, как в случае \( b = 8, c = 9 \), значение увеличивается. Систематически проверив разные комбинации \( b \) и \( c \), проверяем: Самое максимальное, что можно составить из пары (8, 9) также даст значение около (и выше) 29, но не превышающие его. Таким образом: Наибольшее частное, которое можно получить, равно **29**. Так получив окончательные выводы на все три вопроса: а) Да, может. б) Да, может. в) Наибольшее частное может быть 29.