2. В правильной призме ABCDA,B,C,D, известны длины ребер АВ = 4, АА, = 6. Найдите: а) расстояние между прямыми СС, и АВ; б) площадь полной поверхности призмы.
Чтобы решить задачу, раскроем ее по частям.
1. Расстояние между прямыми СС₁ и AB
В данной задаче у нас есть правильная призма ABCDA с основанием ABCD, где:
- A и B - это верхняя и нижняя грани призмы,
- длина ребра AB = 4,
- высота AA₁ = 6 (высота призмы).
Призма имеет прямоугольное основание ABCD, где:
- AB = 4 (длина),
- BC = 4 (так как основание правильное, все ребра равны),
- CD = 4,
- AD = 4,
- высота AA₁ = 6 (это расстояние от точки A до точки A₁).
Координаты вершин призмы: Допустим, мы поместим призму в координатную систему для удобства:
- A(0, 0, 0)
- B(4, 0, 0)
- C(4, 4, 0)
- D(0, 4, 0)
- A₁(0, 0, 6)
- B₁(4, 0, 6)
- C₁(4, 4, 6)
- D₁(0, 4, 6)
Прямые CC₁ и AB можно обозначить.
- Прямая AB: проходит от точки A (0, 0, 0) до точки B (4, 0, 0).
- Прямая CC₁: проходит от точки C (4, 4, 0) до точки C₁ (4, 4, 6).
Нахождение расстояния между прямыми
Для нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми можно использовать следующую формулу:
\[ d = \frac{| \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC₁} \times \overrightarrow{AC}) |}{|\overrightarrow{AC₁} \times \overrightarrow{AC}|} \]
где:
- \(\overrightarrow{AB}\) – вектор направления прямой AB.
- \(\overrightarrow{AC}\) – вектор направления от A до C.
- \(\overrightarrow{AC₁}\) – вектор направления от A до C₁.
Векторы:
- \(\overrightarrow{AB} = B - A = (4, 0, 0) - (0, 0, 0) = (4, 0, 0)\)
- \(\overrightarrow{AC} = C - A = (4, 4, 0) - (0, 0, 0) = (4, 4, 0)\)
- \(\overrightarrow{AC₁} = C₁ - A = (4, 4, 6) - (0, 0, 0) = (4, 4, 6)\)
Теперь находим векторное произведение \(\overrightarrow{AC₁} \times \overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AC₁} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 4 & 6 \\ 4 & 4 & 0 \end{vmatrix} \] Вычисляем определитель: \[ = \hat{i}(4 \cdot 0 - 6 \cdot 4) - \hat{j}(4 \cdot 0 - 6 \cdot 4) + \hat{k}(4 \cdot 4 - 4 \cdot 4) = -24\hat{i} + 24\hat{j} + 0\hat{k} = (-24, 24, 0) \]
Теперь находим его модуль: \[ |\overrightarrow{AC₁} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-24)^2 + 24^2 + 0^2} = \sqrt{576 + 576} = \sqrt{1152} = 24\sqrt{2} \]
Теперь находим скалярное произведение \(\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC₁} \times \overrightarrow{AC})\): \[ \overrightarrow{AB} \cdot (-24, 24, 0) = 4 \cdot (-24) + 0 \cdot 24 + 0 \cdot 0 = -96 \]
Тогда расстояние d: \[ d = \frac{| -96 |}{24\sqrt{2}} = \frac{96}{24\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \]
Ответ на часть а:
Расстояние между прямыми СС₁ и AB равно \(2\sqrt{2}\).
2. Площадь полной поверхности призмы
Полная поверхность призмы состоит из двух оснований и четырех боковых граней.
Площадь основания
Площадь одного основания (квадрат): \[ S_{\text{основания}} = a^2 = 4^2 = 16 \] Площадь двух оснований: \[ S_{\text{двух оснований}} = 2 \cdot S_{\text{основания}} = 2 \cdot 16 = 32 \]
Площадь боковых граней
Каждая боковая грань — прямоугольник, высота которого равна высоте призмы \(AA₁ = 6\) и ширина равна длине ребра основания (AB, BC, CD, AD):
- Площадь одной боковой грани = AB * AA₁ = 4 * 6 = 24.
Площадь четырех боковых граней: \[ S_{\text{боковые грани}} = 4 \cdot (AB \cdot AA₁) = 4 \cdot 24 = 96 \]
Общая площадь полной поверхности
\[ S_{\text{полная}} = S_{\text{двух оснований}} + S_{\text{боковые грани}} = 32 + 96 = 128 \]
Ответ на часть б:
Площадь полной поверхности призмы равна 128.
Таким образом, итоговые ответы:
- а) расстояние между прямыми СC₁ и AB: \(2\sqrt{2}\)
- б) площадь полной поверхности призмы: 128.
