2. В правильной призме ABCDA,B,C,D, известны длины ребер АВ = 4, АА, = 6. Найдите: а) расстояние между прямыми СС, и АВ; б) площадь полной поверхности призмы.

Чтобы решить задачу, раскроем ее по частям. ### 1. Расстояние между прямыми СС₁ и AB В данной задаче у нас есть правильная призма ABCDA с основанием ABCD, где: - A и B - это верхняя и нижняя грани призмы, - длина ребра AB = 4, - высота AA₁ = 6 (высота призмы). Призма имеет прямоугольное основание ABCD, где: - AB = 4 (длина), - BC = 4 (так как основание правильное, все ребра равны), - CD = 4, - AD = 4, - высота AA₁ = 6 (это расстояние от точки A до точки A₁). **Координаты вершин призмы:** Допустим, мы поместим призму в координатную систему для удобства: - A(0, 0, 0) - B(4, 0, 0) - C(4, 4, 0) - D(0, 4, 0) - A₁(0, 0, 6) - B₁(4, 0, 6) - C₁(4, 4, 6) - D₁(0, 4, 6) Прямые CC₁ и AB можно обозначить. - Прямая AB: проходит от точки A (0, 0, 0) до точки B (4, 0, 0). - Прямая CC₁: проходит от точки C (4, 4, 0) до точки C₁ (4, 4, 6). #### Нахождение расстояния между прямыми Для нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми можно использовать следующую формулу: \[ d = \frac{| \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC₁} \times \overrightarrow{AC}) |}{|\overrightarrow{AC₁} \times \overrightarrow{AC}|} \] где: - \(\overrightarrow{AB}\) – вектор направления прямой AB. - \(\overrightarrow{AC}\) – вектор направления от A до C. - \(\overrightarrow{AC₁}\) – вектор направления от A до C₁. Векторы: - \(\overrightarrow{AB} = B - A = (4, 0, 0) - (0, 0, 0) = (4, 0, 0)\) - \(\overrightarrow{AC} = C - A = (4, 4, 0) - (0, 0, 0) = (4, 4, 0)\) - \(\overrightarrow{AC₁} = C₁ - A = (4, 4, 6) - (0, 0, 0) = (4, 4, 6)\) Теперь находим векторное произведение \(\overrightarrow{AC₁} \times \overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AC₁} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 4 & 6 \\ 4 & 4 & 0 \end{vmatrix} \] Вычисляем определитель: \[ = \hat{i}(4 \cdot 0 - 6 \cdot 4) - \hat{j}(4 \cdot 0 - 6 \cdot 4) + \hat{k}(4 \cdot 4 - 4 \cdot 4) = -24\hat{i} + 24\hat{j} + 0\hat{k} = (-24, 24, 0) \] Теперь находим его модуль: \[ |\overrightarrow{AC₁} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-24)^2 + 24^2 + 0^2} = \sqrt{576 + 576} = \sqrt{1152} = 24\sqrt{2} \] Теперь находим скалярное произведение \(\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC₁} \times \overrightarrow{AC})\): \[ \overrightarrow{AB} \cdot (-24, 24, 0) = 4 \cdot (-24) + 0 \cdot 24 + 0 \cdot 0 = -96 \] Тогда расстояние d: \[ d = \frac{| -96 |}{24\sqrt{2}} = \frac{96}{24\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \] ### Ответ на часть а: Расстояние между прямыми СС₁ и AB равно \(2\sqrt{2}\). ### 2. Площадь полной поверхности призмы Полная поверхность призмы состоит из двух оснований и четырех боковых граней. #### Площадь основания Площадь одного основания (квадрат): \[ S_{\text{основания}} = a^2 = 4^2 = 16 \] Площадь двух оснований: \[ S_{\text{двух оснований}} = 2 \cdot S_{\text{основания}} = 2 \cdot 16 = 32 \] #### Площадь боковых граней Каждая боковая грань — прямоугольник, высота которого равна высоте призмы \(AA₁ = 6\) и ширина равна длине ребра основания (AB, BC, CD, AD): - Площадь одной боковой грани = AB * AA₁ = 4 * 6 = 24. Площадь четырех боковых граней: \[ S_{\text{боковые грани}} = 4 \cdot (AB \cdot AA₁) = 4 \cdot 24 = 96 \] #### Общая площадь полной поверхности \[ S_{\text{полная}} = S_{\text{двух оснований}} + S_{\text{боковые грани}} = 32 + 96 = 128 \] ### Ответ на часть б: Площадь полной поверхности призмы равна 128. Таким образом, итоговые ответы: - а) расстояние между прямыми СC₁ и AB: \(2\sqrt{2}\) - б) площадь полной поверхности призмы: 128.