Задумали трёхзначное число, которое делится на 7 и по-следняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обрат-ном порядке. Получили число 792. Какое число было задумано?
Для решения этой задачи мы будем следовать пошагово, чтобы найти задуманное трёхзначное число.
1. **Обозначим трёхзначное число**: Пусть задуманное число обозначается как \( xyz \), где \( x \), \( y \) и \( z \) - его цифры. В этом случае число можно представить как \( 100x + 10y + z \).
2. **Число в обратном порядке**: Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет \( zyx \) и его значение будет \( 100z + 10y + x \).
3. **Разность чисел**: Из первого числа вычтем второе:
\[
(100x + 10y + z) - (100z + 10y + x) = 792
\]
Упростим данное равенство:
\[
100x + 10y + z - 100z - 10y - x = 792
\]
Спрощаем:
\[
99x - 99z = 792
\]
Или, деля обе стороны на 99:
\[
x - z = 8
\]
4. **Отношение цифр**: Мы знаем, что \( x - z = 8 \). Это значит, что \( x = z + 8 \). Так как \( z \) - последняя цифра числа (она не может быть нулём), \( z \) может принимать значения от 1 до 9. Тогда \( x \) должен быть от 9 до 8, что может реализовать только одно значение \( z = 1 \):
\[
z = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1 + 8 = 9
\]
5. **Формирование числа**: Таким образом, мы имеем:
\[
x = 9 \quad и \quad z = 1
\]
Теперь нам нужно найти \( y \). Так как \( x \) и \( z \) известны, мы можем записать число как \( 9y1 \).
6. **Нахождение числа, делящегося на 7**: Трёхзначное число, записанное в виде обретается как \( 901 + 10y \). Для нахождения подходящего \( y \), это число должно делиться на 7:
\[
901 + 10y \equiv 0 \, (\text{mod} \, 7)
\]
Вычислим \( 901 \mod 7\):
\[
901 \div 7 \approx 128.71 \quad \Rightarrow \quad 901 = 7 \times 128 + 5
\]
То есть, \( 901 \mod 7 = 5 \).
Теперь найдем \( y \):
\[
10y + 5 \equiv 0 \, (\text{mod} \, 7) \quad \Rightarrow \quad 10y \equiv -5 \equiv 2 \, (\text{mod} \, 7)
\]
А так как \( 10 \mod 7 = 3\):
\[
3y \equiv 2 \, (\text{mod} \, 7)
\]
Теперь найдём обратный элемент к 3 по модулю 7, и он равен 5, поэтому:
\[
y \equiv 5 \cdot 2 \equiv 3 \, (\text{mod} \, 7)
\]
Значит, возможные значения \( y \) = 3, 10, но 10 – не допустимо так как y - это цифра (от 0 до 9). Убедимся что \( y = 3 \) соответствует.
7. **Трёхзначное число**: Мы имеем \( x = 9, y = 3, z = 1 \), следовательно, задуманное число - это 931.
8. **Проверка делимости**:
\[
931 \div 7 = 133 \quad \text{(целое число)}
\]
Таким образом, окончательное ответ на задачу:
**Задуманное число — 931.**
