дано ∆ABC <C=90° <A=60° AC=5 см CE - медиана. найти CE

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Дано:

• Треугольник \( \Delta ABC \) с углом \( C = 90^\circ \) и углом \( A = 60^\circ \).
• Сторона \( AC = 5 \) см.
• Нужно найти длину медианы \( CE \), где \( E \) — это середина стороны \( AB \).

Шаг 1: Найдем сторону \( AB \)

В прямоугольном треугольнике можно использовать тригонометрию. Зная угол \( A \) и сторону \( AC \), мы можем найти гипотенузу \( AB \) и вторую сторону \( BC \):

Поскольку \( A = 60^\circ \): \[ \sin A = \frac{BC}{AB}, \quad \cos A = \frac{AC}{AB} \] Также знаем, что: \[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \]

Используем \( AC \): \[ \cos(60^\circ) = \frac{AC}{AB} \implies AB = \frac{AC}{\cos(60^\circ)} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10 \text{ см} \]

Шаг 2: Найдем сторону \( BC \)

Теперь найдём сторону \( BC \): \[ \sin(60^\circ) = \frac{BC}{AB} \implies BC = AB \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ см} \]

Шаг 3: Найдем медиану \( CE \)

Медиана можно найти по формуле для медианы \( m \) в треугольнике: \[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \] где \( a \) и \( b \) — стороны, к которым медиана проведена (в данном случае \( AC \) и \( BC \)), а \( c \) — сторона, которая противолежит медиане (в данном случае \( AB \)).

Подставим значения:

• \( a = AC = 5 \) см,
• \( b = BC = 5\sqrt{3} \) см,
• \( c = AB = 10 \) см.

Подставляем в формулу: \[ CE = \frac{1}{2} \sqrt{2(5^2) + 2(5\sqrt{3})^2 - 10^2} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{2(25) + 2(75) - 100} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{50 + 150 - 100} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{100} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ см} \]

Ответ

Длина медианы \( CE \) равна \( 5 \) см.