Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

Чтобы доказать, что равные хорды окружности равноудалены от её центра, давайте разобьем решение на несколько шагов.

Шаг 1: Определения и теоремы

1. Окружность – это множество всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки, называемой центром окружности.
2. Хорда – это отрезок, соединяющий две точки на окружности.
3. Радиус – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

Шаг 2: Обозначения

Пусть у нас есть окружность с центром \( O \) и радиусом \( R \). Обозначим две хорды \( AB \) и \( CD \), которые равны по длине, то есть \( AB = CD \).

Шаг 3: Проведение перпендикуляров

Для каждой хорды проведем перпендикуляры из центра \( O \) к самим хорд.

1. Обозначим точку пересечения перпендикуляра к хордe \( AB \) с хордой как \( M \).
2. Аналогично, обозначим точку пересечения перпендикуляра к хордe \( CD \) с хордой как \( N \).

Шаг 4: Доказательство

• Из геометрии известно, что перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам. Таким образом, \( AM = MB \) и \( CN = ND \).

Поскольку \( AB = CD \), можно сказать, что изображение этого на рисунке будет выглядеть следующим образом:

• \( AM + MB = CN + ND \)

• \( 2AM = 2CN \) (так как \( AB = CD \))

• Так как длина каждого из этих отрезков равна, то \( AM = CN \).

• При этом \( OM \) и \( ON \) являются перпендикулярами от центра окружности до соответствующих хорд. Из свойств прямоугольных треугольников \( OMA \) и \( OCN \):

  • \( OM^2 + AM^2 = OA^2 \) (где \( OA = R \))
  • \( ON^2 + CN^2 = OC^2 \) (где \( OC = R \))

Шаг 5: Применение теоремы Пифагора

Поскольку хорды равны, и отрезки \( AM \) и \( CN \) равны, мы знаем:

1. Из первого уравнения: \( OM^2 + AM^2 = R^2 \)
2. Из второго: \( ON^2 + CN^2 = R^2 \)

Так как \( AM = CN \), мы можем заменить \( CN \) в уравнении на \( AM \):

• Тогда получится:

\[ OM^2 = R^2 - AM^2 \] \[ ON^2 = R^2 - AM^2 \]

Шаг 6: Заключение

Сравнив \( OM \) и \( ON \):

• \( OM^2 = ON^2 \)

Следовательно, \( OM = ON \).

Таким образом, расстояния от центра окружности до равных хорд равны, и мы можем заключить, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

Это завершает доказательство.