Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

Чтобы доказать, что равные хорды окружности равноудалены от её центра, давайте разобьем решение на несколько шагов. ### Шаг 1: Определения и теоремы 1. **Окружность** – это множество всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки, называемой центром окружности. 2. **Хорда** – это отрезок, соединяющий две точки на окружности. 3. **Радиус** – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. ### Шаг 2: Обозначения Пусть у нас есть окружность с центром \( O \) и радиусом \( R \). Обозначим две хорды \( AB \) и \( CD \), которые равны по длине, то есть \( AB = CD \). ### Шаг 3: Проведение перпендикуляров Для каждой хорды проведем перпендикуляры из центра \( O \) к самим хорд. 1. Обозначим точку пересечения перпендикуляра к хордe \( AB \) с хордой как \( M \). 2. Аналогично, обозначим точку пересечения перпендикуляра к хордe \( CD \) с хордой как \( N \). ### Шаг 4: Доказательство - Из геометрии известно, что перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам. Таким образом, \( AM = MB \) и \( CN = ND \). Поскольку \( AB = CD \), можно сказать, что изображение этого на рисунке будет выглядеть следующим образом: - \( AM + MB = CN + ND \) - \( 2AM = 2CN \) (так как \( AB = CD \)) - Так как длина каждого из этих отрезков равна, то \( AM = CN \). - При этом \( OM \) и \( ON \) являются перпендикулярами от центра окружности до соответствующих хорд. Из свойств прямоугольных треугольников \( OMA \) и \( OCN \): - \( OM^2 + AM^2 = OA^2 \) (где \( OA = R \)) - \( ON^2 + CN^2 = OC^2 \) (где \( OC = R \)) ### Шаг 5: Применение теоремы Пифагора Поскольку хорды равны, и отрезки \( AM \) и \( CN \) равны, мы знаем: 1. Из первого уравнения: \( OM^2 + AM^2 = R^2 \) 2. Из второго: \( ON^2 + CN^2 = R^2 \) Так как \( AM = CN \), мы можем заменить \( CN \) в уравнении на \( AM \): - Тогда получится: \[ OM^2 = R^2 - AM^2 \] \[ ON^2 = R^2 - AM^2 \] ### Шаг 6: Заключение Сравнив \( OM \) и \( ON \): - \( OM^2 = ON^2 \) Следовательно, \( OM = ON \). Таким образом, расстояния от центра окружности до равных хорд равны, и мы можем заключить, что равные хорды окружности равноудалены от её центра. Это завершает доказательство.