К окружности с центром в точке O проведена касательная KA, K — точка касания. Длина отрезка касательной KA=83, ∠OAK=60°. Найдите длину окружности C.
Для решения задачи начнем с анализа данных и применения теоремы о касательной к окружности.
Дано:
- Длина касательной \(KA = 83\)
- Угол \( ∠OAK = 60° \)
Рассмотрим треугольник OAK:
- В этом треугольнике сторона \(OK\) – это радиус окружности, а \(AO\) – расстояние от точки A до центра O окружности. Поскольку KA является касательной, по теореме о касательной: \[ OA^2 = OK^2 + KA^2 \]
Определим стороны треугольника OAK:
- Обозначим радиус окружности как \(r\).
- По теореме косинусов для треугольника OAK мы можем записать: \[ AO^2 = OA^2 + OK^2 - 2 \cdot OA \cdot OK \cdot \cos(∠OAK) \] где \(OA = r\) и \(OK = r\).
Длина \(AO\) не известна, но учитывая, что в нашем случае радиус \(OK\) равен \(r\) и чтобы использовать длину касательной, упростим задачу, подставляя известные значения.
Найдём радиус окружности r:
- Настроим систему уравнений: Используя \(KA\): \[ OA^2 = OK^2 + KA^2 \] \[ OA^2 = r^2 + 83^2 \]
В этом уравнении, нам еще нужно найти \(OA\). Используя закон синусов или другие отношения в треугольнике \(OAK\), мы можем выразить \(OA\) в терминах \(r\): Учитывая угол: \[ OA = \frac{KA}{\sin(60°)} = \frac{83}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{166}{\sqrt{3}} \approx 95.59. \]
Подставим это в уравнение: \[ \left(\frac{166}{\sqrt{3}}\right)^2 = r^2 + 83^2. \] Сначала найдем \(83^2 = 6889\) и разложим: \[ \frac{27556}{3} = r^2 + 6889. \]
Умножим обе стороны уравнения на 3: \[ 27556 = 3r^2 + 20667. \] Перегруппируем уравнение: \[ 3r^2 = 27556 - 20667 = 6889 \Rightarrow r^2 = \frac{6889}{3} = 2296.33. \]
Теперь вычтем корень: \[ r = \sqrt{2296.33} \approx 47.93. \]
Наконец, найдём длину окружности C: Длина окружности \(C\) определяется формулой: \[ C = 2 \pi r. \] Подставим значение радиуса: \[ C \approx 2 \pi \cdot 47.93 \approx 300.134. \]
Таким образом, длина окружности \(C\) составляет примерно \(300.134\) единиц.
