В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 1 , боковое ребро равно 5 . Найдите её объём.
Для того чтобы найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, нужно знать формулу:
\[ V = \frac{1}{3} S_b h, \]
где \( V \) — объём пирамиды, \( S_b \) — площадь основания, а \( h \) — высота.
Определение высоты и бокового ребра: У нас задана высота пирамиды \( h = 1 \) и боковое ребро (ребро, соединяющее вершину пирамиды с вершинами основания) \( r = 5 \).
Определение свойств основания: Поскольку основание пирамиды правильное (в нашем случае квадратное), обозначим сторону основания квадрата как \( a \). В правильной пирамиде высота, боковое ребро и половина стороны основания создают прямоугольный треугольник, где:
- одна сторона (катет) равна \( \frac{a}{2} \) (половина стороны квадрата);
- другая сторона (катет) равна высоте \( h \);
- гипотенуза равна \( r \) (боковое ребро).
Так что мы можем написать теорему Пифагора:
\[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = r^2. \]
Подстановка известных значений: Подставим значения \( h = 1 \) и \( r = 5 \):
\[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 1^2 = 5^2, \] \[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 1 = 25. \]
Теперь вычтем 1 из обеих сторон:
\[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 25 - 1 = 24. \]
Решение для стороны основания: Теперь найдем \( \frac{a}{2} \):
\[ \frac{a}{2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}. \]
Следовательно,:
\[ a = 4\sqrt{6}. \]
Площадь основания: Теперь найдём площадь основания квадрата \( S_b \):
\[ S_b = a^2 = (4\sqrt{6})^2 = 16 \cdot 6 = 96. \]
Подсчёт объёма: Теперь можем вычислить объём пирамиды:
\[ V = \frac{1}{3} S_b h = \frac{1}{3} \cdot 96 \cdot 1 = \frac{96}{3} = 32. \]
Таким образом, объём правильной четырёхугольной пирамиды равен 32.
