В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 1 , боковое ребро равно 5 . Найдите её объём.

Для того чтобы найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, нужно знать формулу: \[ V = \frac{1}{3} S_b h, \] где \( V \) — объём пирамиды, \( S_b \) — площадь основания, а \( h \) — высота. 1. **Определение высоты и бокового ребра:** У нас задана высота пирамиды \( h = 1 \) и боковое ребро (ребро, соединяющее вершину пирамиды с вершинами основания) \( r = 5 \). 2. **Определение свойств основания:** Поскольку основание пирамиды правильное (в нашем случае квадратное), обозначим сторону основания квадрата как \( a \). В правильной пирамиде высота, боковое ребро и половина стороны основания создают прямоугольный треугольник, где: - одна сторона (катет) равна \( \frac{a}{2} \) (половина стороны квадрата); - другая сторона (катет) равна высоте \( h \); - гипотенуза равна \( r \) (боковое ребро). Так что мы можем написать теорему Пифагора: \[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = r^2. \] 3. **Подстановка известных значений:** Подставим значения \( h = 1 \) и \( r = 5 \): \[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 1^2 = 5^2, \] \[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 1 = 25. \] Теперь вычтем 1 из обеих сторон: \[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 25 - 1 = 24. \] 4. **Решение для стороны основания:** Теперь найдем \( \frac{a}{2} \): \[ \frac{a}{2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}. \] Следовательно,: \[ a = 4\sqrt{6}. \] 5. **Площадь основания:** Теперь найдём площадь основания квадрата \( S_b \): \[ S_b = a^2 = (4\sqrt{6})^2 = 16 \cdot 6 = 96. \] 6. **Подсчёт объёма:** Теперь можем вычислить объём пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} S_b h = \frac{1}{3} \cdot 96 \cdot 1 = \frac{96}{3} = 32. \] Таким образом, объём правильной четырёхугольной пирамиды равен **32**.