81x^2<=16

Чтобы решить неравенство \( 81x^2 \leq 16 \), следуем этим шагам: ### Шаг 1: Переносим все члены на одну сторону Для начала мы можем перенести все члены на одну сторону неравенства. Это позволит нам сравнить его с нулем: \[ 81x^2 - 16 \leq 0 \] ### Шаг 2: Применим формулу разности квадратов Next, распишем \( 81x^2 - 16 \) как разность квадратов: \[ (9x)^2 - 4^2 \leq 0 \] Теперь применим формулу разности квадратов: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] В нашем случае \( a = 9x \) и \( b = 4 \). Соответственно: \[ (9x - 4)(9x + 4) \leq 0 \] ### Шаг 3: Найдем корни Теперь найдем корни уравнения: \[ 9x - 4 = 0 \implies 9x = 4 \implies x = \frac{4}{9} \] \[ 9x + 4 = 0 \implies 9x = -4 \implies x = -\frac{4}{9} \] Таким образом, корни нашего неравенства: \( x = -\frac{4}{9} \) и \( x = \frac{4}{9} \). ### Шаг 4: Анализ промежутков Теперь нужно определить, на каких промежутках функция \( (9x - 4)(9x + 4) \) является неотрицательной (т.е. меньше или равной нулю). Поделим числовую прямую на три промежутка, основываясь на корнях: - \( (-\infty, -\frac{4}{9}) \) - \( (-\frac{4}{9}, \frac{4}{9}) \) - \( (\frac{4}{9}, \infty) \) Теперь проверим знаки на каждом промежутке: 1. **Для промежутка \( (-\infty, -\frac{4}{9}) \)**: возьмем, например, \( x = -1 \): \[ (9(-1) - 4)(9(-1) + 4) = (-13)(-5) > 0 \] 2. **Для промежутка \( (-\frac{4}{9}, \frac{4}{9}) \)**: возьмем, например, \( x = 0 \): \[ (9(0) - 4)(9(0) + 4) = (-4)(4) < 0 \] 3. **Для промежутка \( (\frac{4}{9}, \infty) \)**: возьмем, например, \( x = 1 \): \[ (9(1) - 4)(9(1) + 4) = (5)(13) > 0 \] ### Шаг 5: Составляем решение Из анализа знаков мы видим, что выражение \( (9x - 4)(9x + 4) \) меньше или равно нулю на промежутке: \[ x \in \left[-\frac{4}{9}, \frac{4}{9}\right] \] ### Ответ Таким образом, решение неравенства \( 81x^2 \leq 16 \): \[ x \in \left[-\frac{4}{9}, \frac{4}{9}\right] \] Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить какую-то часть подробнее, не стесняйтесь спрашивать!