81x^2<=16
Чтобы решить неравенство \( 81x^2 \leq 16 \), следуем этим шагам:
Шаг 1: Переносим все члены на одну сторону
Для начала мы можем перенести все члены на одну сторону неравенства. Это позволит нам сравнить его с нулем:
\[ 81x^2 - 16 \leq 0 \]
Шаг 2: Применим формулу разности квадратов
Next, распишем \( 81x^2 - 16 \) как разность квадратов:
\[ (9x)^2 - 4^2 \leq 0 \]
Теперь применим формулу разности квадратов:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
В нашем случае \( a = 9x \) и \( b = 4 \). Соответственно:
\[ (9x - 4)(9x + 4) \leq 0 \]
Шаг 3: Найдем корни
Теперь найдем корни уравнения:
\[ 9x - 4 = 0 \implies 9x = 4 \implies x = \frac{4}{9} \]
\[ 9x + 4 = 0 \implies 9x = -4 \implies x = -\frac{4}{9} \]
Таким образом, корни нашего неравенства: \( x = -\frac{4}{9} \) и \( x = \frac{4}{9} \).
Шаг 4: Анализ промежутков
Теперь нужно определить, на каких промежутках функция \( (9x - 4)(9x + 4) \) является неотрицательной (т.е. меньше или равной нулю). Поделим числовую прямую на три промежутка, основываясь на корнях:
- \( (-\infty, -\frac{4}{9}) \)
- \( (-\frac{4}{9}, \frac{4}{9}) \)
- \( (\frac{4}{9}, \infty) \)
Теперь проверим знаки на каждом промежутке:
Для промежутка \( (-\infty, -\frac{4}{9}) \): возьмем, например, \( x = -1 \): \[ (9(-1) - 4)(9(-1) + 4) = (-13)(-5) > 0 \]
Для промежутка \( (-\frac{4}{9}, \frac{4}{9}) \): возьмем, например, \( x = 0 \): \[ (9(0) - 4)(9(0) + 4) = (-4)(4) < 0 \]
Для промежутка \( (\frac{4}{9}, \infty) \): возьмем, например, \( x = 1 \): \[ (9(1) - 4)(9(1) + 4) = (5)(13) > 0 \]
Шаг 5: Составляем решение
Из анализа знаков мы видим, что выражение \( (9x - 4)(9x + 4) \) меньше или равно нулю на промежутке:
\[ x \in \left[-\frac{4}{9}, \frac{4}{9}\right] \]
Ответ
Таким образом, решение неравенства \( 81x^2 \leq 16 \):
\[ x \in \left[-\frac{4}{9}, \frac{4}{9}\right] \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить какую-то часть подробнее, не стесняйтесь спрашивать!
