Решим уравнение ( x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0 ) методом группировки. Это уравнение третьей степени, и мы попробуем его решить, сгруппировав члены.
Шаг 1: Группировка
Сначала сгруппируем члены по 2:
[
(x^3 - 3x^2) + (-x + 3) = 0
]
Теперь у нас есть две группы: ( x^3 - 3x^2 ) и ( -x + 3 ).
Шаг 2: Выделение общего множителя
Теперь выделим общий множитель в каждой группе.
В первой группе ( x^3 - 3x^2 ) мы можем вынести ( x^2 ):
[
x^2 (x - 3)
]
Во второй группе ( -x + 3 ) можем вынести ( -1 ):
[
-1(x - 3)
]
Теперь наше уравнение выглядит так:
[
x^2 (x - 3) - 1 (x - 3) = 0
]
Шаг 3: Вынесем общий множитель
Обратите внимание, что ( (x - 3) ) - общий множитель. Вынесем его:
[
(x - 3)(x^2 - 1) = 0
]
Шаг 4: Решение каждого множителя
Теперь мы можем решить каждое из полученных уравнений:
( x - 3 = 0 )
[
x = 3
]
( x^2 - 1 = 0 )
Это уравнение можно факторизовать:
[
(x - 1)(x + 1) = 0
]
Решения:
[
x - 1 = 0 \rightarrow x = 1
]
[
x + 1 = 0 \rightarrow x = -1
]
Шаг 5: Итоговые решения
Таким образом, мы нашли все корни исходного уравнения:
[
x = 3, \quad x = 1, \quad x = -1
]
Эти значения являются решениями уравнения ( x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0 ).
