Проверьте, эквивалентны ли два высказывания AvB&C и (AvB) & (AvC)
Чтобы определить, эквивалентны ли два высказывания \( A \vee B \wedge C \) и \( (A \vee B) \wedge (A \vee C) \), начнем с анализа каждого из них.
Шаг 1: Разберём первое высказывание \( A \vee B \wedge C \)
По правилам логики, выражение \( B \wedge C \) выполняется только тогда, когда оба \( B \) и \( C \) истинны. Поэтому выражение \( A \vee B \wedge C \) можно интерпретировать как:
- \( A \) истинно, или
- одновременно \( B \) и \( C \) истинны.
Шаг 2: Разберём второе высказывание \( (A \vee B) \wedge (A \vee C) \)
Это выражение утверждает, что:
- \( A \vee B \): либо \( A \) истинно, либо \( B \) истинно,
- \( A \vee C \): либо \( A \) истинно, либо \( C \) истинно.
Таким образом, для того чтобы \( (A \vee B) \wedge (A \vee C) \) было истинно, необходимы следующие условия:
- Либо \( A \) истинно,
- Либо одновременно \( B \) истинно (и тогда \( C \) может быть любым),
- Либо одновременно \( C \) истинно (и тогда \( B \) может быть любым).
Шаг 3: Построим таблицу истинности
Теперь мы можем создать таблицу истинности для обеих формул, чтобы сравнить их результаты.
| A | B | C | B ∧ C | A ∨ (B ∧ C) | A ∨ B | A ∨ C | (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Шаг 4: Сравнение результатов
Теперь давайте посмотрим на столбцы с результатами для обоих выражений:
- \( A \vee B \wedge C \): 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1
- \( (A \vee B) \wedge (A \vee C) \): 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1
Вывод
Результаты для обоих выражений совпадают для всех возможных значений \( A \), \( B \) и \( C \). Следовательно, высказывания \( A \vee B \wedge C \) и \( (A \vee B) \wedge (A \vee C) \) являются эквивалентными.
Таким образом, мы доказали, что \( A \vee B \wedge C \equiv (A \vee B) \wedge (A \vee C) \).
