Чтобы решить задачу, обозначим задуманное трёхзначное число как ( abc ), где ( a ), ( b ) и ( c ) - его цифры, а ( a \neq 0 ) (поскольку это трёхзначное число). Это число можно записать как ( 100a + 10b + c ).
Запишем число, состоящее из тех же цифр, но в обратном порядке, которое получится: ( cba ), то есть ( 100c + 10b + a ).
По условию, вычтя ( cba ) из ( abc ), мы получим 297:
[
(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 297
]
Упростим это выражение:
[
100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 297
]
Сократим ( 10b ):
[
100a - a + c - 100c = 297 \
99a - 99c = 297
]
Теперь вынесем 99 за скобки:
[
99(a - c) = 297
]
Разделим обе стороны уравнения на 99:
[
a - c = 3
]
Таким образом, мы узнали, что первая цифра ( a ) на 3 больше последней цифры ( c ). Теперь можно выразить ( a ) через ( c ):
[
a = c + 3
]
Поскольку ( a ) и ( c ) - это цифры от 0 до 9, рассмотрим возможные значения ( c ):
- Если ( c = 1 ), то ( a = 4 ) (число 413).
- Если ( c = 2 ), то ( a = 5 ) (число 524).
- Если ( c = 3 ), то ( a = 6 ) (число 635).
- Если ( c = 4 ), то ( a = 7 ) (число 746).
- Если ( c = 5 ), то ( a = 8 ) (число 857).
- Если ( c = 6 ), то ( a = 9 ) (число 968).
Теперь нужно найти три эти числа, которые больше 900:
- Для ( c = 6 ):
- ( c = 6 ), ( a = 9 ), ( b ) может быть любым.
- Возможные числа: ( 906, 916, 926, 936, 946, 956, 966, 976, 986, 996 ).
- Конечно, все эти числа должны удовлетворять условию ( a - c = 3 ) и быть больше 900.
Таким образом, те числа, которые больше 900 и обладают данным свойством, будут:
- 906: ( 906 - 609 = 297 )
- 916: ( 916 - 619 = 297 )
- 926: ( 926 - 629 = 297 )
- 936: ( 936 - 639 = 297 )
- 946: ( 946 - 649 = 297 )
- 956: ( 956 - 659 = 297 )
- 966: ( 966 - 669 = 297 )
- 976: ( 976 - 679 = 297 )
- 986: ( 986 - 689 = 297 )
- 996: ( 996 - 699 = 297 )
Таким образом, все числа, соответствующие условию, это: 906, 916, 926, 936, 946, 956, 966, 976, 986, 996.
