Задумали трёхзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 297. Найди все…

Чтобы решить задачу, обозначим задуманное трёхзначное число как \( abc \), где \( a \), \( b \) и \( c \) - его цифры, а \( a \neq 0 \) (поскольку это трёхзначное число). Это число можно записать как \( 100a + 10b + c \).

Запишем число, состоящее из тех же цифр, но в обратном порядке, которое получится: \( cba \), то есть \( 100c + 10b + a \).

По условию, вычтя \( cba \) из \( abc \), мы получим 297:

\[ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 297 \]

Упростим это выражение:

\[ 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 297 \]

Сократим \( 10b \):

\[ 100a - a + c - 100c = 297 \\ 99a - 99c = 297 \]

Теперь вынесем 99 за скобки:

\[ 99(a - c) = 297 \]

Разделим обе стороны уравнения на 99:

\[ a - c = 3 \]

Таким образом, мы узнали, что первая цифра \( a \) на 3 больше последней цифры \( c \). Теперь можно выразить \( a \) через \( c \):

\[ a = c + 3 \]

Поскольку \( a \) и \( c \) - это цифры от 0 до 9, рассмотрим возможные значения \( c \):

• Если \( c = 1 \), то \( a = 4 \) (число 413).
• Если \( c = 2 \), то \( a = 5 \) (число 524).
• Если \( c = 3 \), то \( a = 6 \) (число 635).
• Если \( c = 4 \), то \( a = 7 \) (число 746).
• Если \( c = 5 \), то \( a = 8 \) (число 857).
• Если \( c = 6 \), то \( a = 9 \) (число 968).

Теперь нужно найти три эти числа, которые больше 900:

1. Для \( c = 6 \):
   • \( c = 6 \), \( a = 9 \), \( b \) может быть любым.
   • Возможные числа: \( 906, 916, 926, 936, 946, 956, 966, 976, 986, 996 \).
   • Конечно, все эти числа должны удовлетворять условию \( a - c = 3 \) и быть больше 900.

Таким образом, те числа, которые больше 900 и обладают данным свойством, будут:

• 906: \( 906 - 609 = 297 \)
• 916: \( 916 - 619 = 297 \)
• 926: \( 926 - 629 = 297 \)
• 936: \( 936 - 639 = 297 \)
• 946: \( 946 - 649 = 297 \)
• 956: \( 956 - 659 = 297 \)
• 966: \( 966 - 669 = 297 \)
• 976: \( 976 - 679 = 297 \)
• 986: \( 986 - 689 = 297 \)
• 996: \( 996 - 699 = 297 \)

Таким образом, все числа, соответствующие условию, это: 906, 916, 926, 936, 946, 956, 966, 976, 986, 996.