Ира загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 446. Какую цифру зачеркнула Ира?…
Ира загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 446. Какую цифру зачеркнула Ира? Запишите решение и ответ.
Давайте подробно разберем задачу шаг за шагом.
Обозначим число. Пусть загаданное четырёхзначное число обозначается как \( N = 1000a + 100b + 10c + d \), где \( a, b, c, d \) — цифры этого числа (от 0 до 9), а \( a \) не может быть 0, так как это четырёхзначное число.
Сумма цифр. Сумма цифр числа \( N \) равна \( S = a + b + c + d \).
Находим разность. По условию, из числа \( N \) Ира вычла сумму его цифр: \[ M = N - S = (1000a + 100b + 10c + d) - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c \] Это выражение показывает, что при вычитании суммы цифр, число \( M \) будет делиться на 9, так как каждое из выражений \( 999a, 99b \) и \( 9c \) дает в остатке 0 при делении на 9.
Зачеркиваем цифру. Из полученного числа \( M \) Ира зачеркнула одну цифру и получила 446. Давайте обозначим переставшееся число как \( P \), что фактически означает, что \( P \) — это \( M \) с одной цифрой, скажем \( x \), вычеркнутой.
Найдем значение \( M \). После вычеркивания цифры \( x \): \[ P = M - x = 446. \] Это можно переписать как: \[ M = 446 + x. \]
Определим диапазон \( x \). Поскольку \( x \) — это цифра, она может принимать значения от 0 до 9. Так что возможные значения для \( M \) будут в диапазоне от \( 446 \) (если \( x = 0 \)) до \( 455 \) (если \( x = 9 \)): \[ 446 \leq M \leq 455. \]
Находим возможные значения \( M \). Теперь нам нужно найти такие \( M \), которые делятся на 9, и при этом находятся в заданном диапазоне. Рассмотрим возможные значения:
- \( 447 \div 9 \) дает остаток 6
- \( 448 \div 9 \) дает остаток 7
- \( 449 \div 9 \) дает остаток 8
- \( 450 \div 9 = 50 \) (делится на 9)
- \( 451 \div 9 \) дает остаток 1
- \( 452 \div 9 \) дает остаток 2
- \( 453 \div 9 \) дает остаток 3
- \( 454 \div 9 \) дает остаток 4
- \( 455 \div 9 \) дает остаток 5
Таким образом, единственное значение \( M \), подходящее под условия и делящееся на 9, — это 450.
Находим \( x \). Так как мы знаем, что \( M = 446 + x \), то подставим найденное значение: \[ 450 = 446 + x \implies x = 450 - 446 = 4. \]
Таким образом, цифра, которую зачеркнула Ира, равна 4.
Ответ: 4
