Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать понятие вероятности и формулу для расчета вероятности неудачи.
Дано:
- Вероятность того, что стрелок попадает в цель с одного выстрела: ( p = 0.48 ).
- Вероятность того, что стрелок попадает в цель после нескольких выстрелов должна быть не менее: ( P(\text{попадание}) \geq 0.86 ).
Шаг 1: Определим вероятность неудачи.
Вероятность того, что стрелок не попадает в цель за один выстрел, будет:
[
q = 1 - p = 1 - 0.48 = 0.52.
]
Шаг 2: Определим вероятность того, что стрелок не попадает в цель за ( n ) выстрелов.
Если стрелок делает ( n ) выстрелов, вероятность того, что он не попадёт ни разу, будет равна:
[
P(\text{не попадание за } n \text{ выстрелов}) = q^n = (0.52)^n.
]
Шаг 3: Найдем вероятность попадания хотя бы один раз за ( n ) выстрелов.
Вероятность того, что стрелок попадает хотя бы один раз:
[
P(\text{попадание за } n \text{ выстрелов}) = 1 - P(\text{не попадание за } n \text{ выстрелов}) = 1 - (0.52)^n.
]
Шаг 4: Установим неравенство для нахождения ( n ).
Чтобы вероятность попадания была не менее ( 0.86 ), мы запишем:
[
1 - (0.52)^n \geq 0.86.
]
Отсюда следует:
[
(0.52)^n \leq 0.14.
]
Шаг 5: Решим неравенство.
Для решения данного неравенства удобно логарифмировать обе части:
[
\log((0.52)^n) \leq \log(0.14).
]
Согласно свойству логарифмов, это может быть переписано как:
[
n \cdot \log(0.52) \leq \log(0.14).
]
Так как ( \log(0.52) ) отрицательное число, при делении на него неравенство изменит знак:
[
n \geq \frac{\log(0.14)}{\log(0.52)}.
]
Шаг 6: Вычислим необходимое значение ( n ).
Теперь посчитаем значения логарифмов:
- ( \log(0.14) \approx -0.853871 )
- ( \log(0.52) \approx -0.283303 )
Считаем:
[
n \geq \frac{-0.853871}{-0.283303} \approx 3.01.
]
Так как ( n ) должно быть целым числом, округляем вверх, получается ( n = 4 ).
Ответ: Стрелку нужно дать минимум 4 патрона, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0.86.
