На каждой клетке доски 10 х 9 стоит фишка. Миша сдвинул все фишки по диагонали на одну клетку (в произвольном направлении). После этого действия на одной клетке может оказаться несколько фишек, а другие клетки могут быть свободными. Найди минимально возможное число свободных клеток.

Для решения задачи начнем с анализа исходной ситуации и действий Миши. 1. **Исходные условия:** На доске размером 10 х 9 (10 строк и 9 столбцов) расположены фишки. Это значит, что изначально на доске находится \(10 \times 9 = 90\) фишек — по одной на каждой клетке. 2. **Действие Миши:** Миша сдвинул все фишки по диагонали на одну клетку. Под "по диагонали" мы можем понимать два направления: - Сначала вверх-вправо или вниз-вправо. - Сначала вверх-влево или вниз-влево. Рассмотрим разные случаи сдвига: - **Сдвиг вверх-вправо:** - Клетка (1,1) сдвигается в (2,2), - Клетка (1,2) сдвигается в (2,3), - И так далее до (9,9), которая сдвигается в (10,10) — этой клетки на доске нет. Таким образом, некоторые фишки сдвинутся на клетки, которые выходят за пределы доски. - **Сдвиг вниз-вправо:** Аналогично, при сдвиге вниз-вправо возникнет ситуация, когда фишки из первых строк будут сдвинуты на клетки, которые не находятся на доске. 3. **Подсчет занятых и свободных клеток:** Если рассмотреть, например, сдвиг вниз-вправо, тогда: - Клетки с (1,1) по (9,9) сдвинутся в клетки (2,2) по (10,10). Клетка (10,10) не существует, значит, 9 фишек займут ячейки, а одна (из (10,10)) будет свободной. 4. **Общая оценка:** При любом сдвиге мы увидим, что часть фишек уходит за пределы, и они не могут занять новую клетку. Поэтому мы можем занять максимум 90 клеток, однако, так как сдвиг вызвал появление пустых клеток, нам нужно понимать, сколько из исходных 90 фишек оказалось за пределами поля. 5. **Минимальная величина свободных клеток:** При каждом сдвиге, независимо от направления, использования, мы всегда будем иметь некоторые фишки, которые не смогут занять клетку. Они могут просто выходить за пределы доски. По расчетам видно, что минимально возможное число свободных клеток — это те, что не были заняты сдвинувшимися фишками. Поэтому, в зависимости от сдвига и основываясь на тот факт, что в крайних случаях (если мы позаботимся о том, чтобы занять границы) уникальность фишек обеспечит, что минимум клеток останется занятими, и в общем случае, мы можем сказать, что: **Ответ:** Минимально возможное число свободных клеток — 1.