Невесомая пружина жесткостью 150 Н/м одним концом прикреплена к оси вращения горизонтального гладкого диска радиусом 0,4 м. К противоположному концу пружины прикреплен брусок…

Чтобы решить задачу, давайте начнем с того, что нам нужно определить, на каком расстоянии от оси вращения будет находиться брусок, когда диск вращается с некоторым периодом.

Дано:

• Жесткость пружины \( k = 150 \, \text{Н/м} \)
• Масса бруска \( m = 0.1 \, \text{кг} \)
• Радиус диска \( R = 0.4 \, \text{м} \) (но он не обязательно равен положению бруска)
• Длина пружины в недеформированном состоянии \( L_0 = 0.14 \, \text{м} \)
• Период вращения \( T = 0.5 \, \text{с} \)

Необходимые формулы:

1. Сила, действующая в пружине при ее деформации: \[ F = k \cdot x \] где \( x \) — изменение длины пружины (длина в деформированном состоянии минус длина в недеформированном состоянии).

2. Угловая скорость: \[ \omega = \frac{2\pi}{T} \]

3. Центробежная сила, действующая на брусок: \[ F_c = m \cdot a_c = m \cdot \frac{v^2}{r} \] где \( v = r \cdot \omega \) — линейная скорость бруска, \( r \) — расстояние от оси вращения до бруска.

Шаг 1: Находим угловую скорость

Сначала найдем угловую скорость \( \omega \): \[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi \, \text{рад/с} \]

Шаг 2: Центробежная сила

Центробежная сила, действующая на брусок, равна: \[ F_c = m \cdot a_c = m \cdot \frac{v^2}{r} = m \cdot \frac{(r \cdot \omega)^2}{r} = m \cdot r \cdot \omega^2 \]

Подставляем значения: \[ F_c = 0.1 \cdot r \cdot (4\pi)^2 \]

Сначала вычислим \( (4\pi)^2 \): \[ (4\pi)^2 = 16\pi^2 \approx 16 \cdot 9.87 \approx 157.08 \]

Теперь подставим это значение в формулу: \[ F_c \approx 0.1 \cdot r \cdot 157.08 = 15.708r \, \text{Н} \]

Шаг 3: Найдем изменение длины пружины \( F = k \cdot x \)

Сила, действующая в пружине, равна натяжению, которое она создает: \[ F = k \cdot x \]

Мы можем приравнять эту силу к центробежной: \[ k \cdot x = 15.708r \]

Теперь подставим значение жесткости: \[ 150 \cdot x = 15.708r \] \[ x = \frac{15.708r}{150} \approx 0.10472r \]

Шаг 4: Найдем полную длину пружины

Полная длина пружины в деформированном состоянии равна: \[ L = L_0 + x \Rightarrow L = 0.14 + 0.10472r \]

Шаг 5: Рассмотрим, что длина пружины ни больше, ни меньше радиуса вращения

При равновесии \( L \) может быть выражена как: \[ L = r \] Тогда у нас есть уравнение: \[ r = 0.14 + 0.10472r \]

Шаг 6: Решим это уравнение

Переносим \( 0.10472r \) влево: \[ r - 0.10472r = 0.14 \] \[ 0.89528r = 0.14 \] \[ r = \frac{0.14}{0.89528} \approx 0.156 \]

Ответ

Таким образом, расстояние от оси вращения до бруска, когда диск вращается с периодом 0.5 с, примерно равно \( 0.156 \, \text{м} \) или \( 15.6 \, \text{см} \).