Улитка ползёт вверх по дереву , начиная от его основания . ща первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту на 5 см больше , чем за предыдущий, за сколько минут улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 м?

Чтобы решить задачу о том, за сколько минут улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 м, рассмотрим следующее. 1. **Переводим высоту дерева в сантиметры**: Высоту дерева можно выразить в сантиметрах, так как улитка ползёт в сантиметрах. 5,25 м = 525 см. 2. **Определим прирост расстояния, которое преодолевает улитка**: - За первую минуту улитка проползает 30 см. - За каждую следующую минуту улитка ползет на 5 см больше, чем за предыдущую минуту. Это значит, что: - За 1 минуту: \( a_1 = 30 \, \text{см} \) - За 2 минуту: \( a_2 = a_1 + 5 = 30 + 5 = 35 \, \text{см} \) - За 3 минуту: \( a_3 = a_2 + 5 = 35 + 5 = 40 \, \text{см} \) - За 4 минуту: \( a_4 = a_3 + 5 = 40 + 5 = 45 \, \text{см} \) - И так далее. В общем, за n-ю минуту улитка проползает: \[ a_n = 30 + (n - 1) \cdot 5 = 30 + 5n - 5 = 5n + 25 \, \text{см} \] 3. **Найдем общее расстояние, которое улитка преодолела за n минут**: Сумма расстояний за n минут будет равна: \[ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = 30 + 35 + 40 + ... + (5n + 25) \] Это — арифметическая прогрессия, где: - Первый член \( a_1 = 30 \) - Последний член \( a_n = 5n + 25 \) - Число членов равно \( n \) Формула суммы \( S_n \) арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} \cdot (30 + (5n + 25)) = \frac{n}{2} \cdot (5n + 55) = \frac{5n^2 + 55n}{2} \] 4. **Установим уравнение для нахождения n, когда улитка достигнет высоты 525 см**: \[ S_n = 525 \implies \frac{5n^2 + 55n}{2} = 525 \] Умножаем обе стороны на 2 для избавления от деления: \[ 5n^2 + 55n = 1050 \] Переписываем уравнение: \[ 5n^2 + 55n - 1050 = 0 \] Делим всё на 5: \[ n^2 + 11n - 210 = 0 \] 5. **Решим квадратное уравнение**: Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 121 + 840 = 961 \] Находим корни: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm 31}{2} \] Получаем два результата: \[ n_1 = \frac{20}{2} = 10, \quad n_2 = \frac{-42}{2} = -21 \] Поскольку n не может быть отрицательным, то: \[ n = 10 \] Таким образом, улитка достигнет вершины дерева за **10 минут**.