Давайте поочередно решим каждую из указанных задач.
Задача 208:
Условие: У нас есть сумма первых n членов арифметической прогрессии, которую выражают формулой ( S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n ), и она равна ( S_5 = n^k - 3 ). Нам нужно найти первый член и разность.
Решение:
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)
]
где ( a_1 ) — первый член, ( d ) — разность, а ( n ) — количество членов.
Для ( n = 5 ):
[
S_5 = \frac{5}{2} \cdot (2a_1 + 4d) = \frac{5}{2} \cdot (2a_1 + 4d)
]
Это выражение должно равняться ( n^k - 3 ). Заменим ( n ) на 5:
[
S_5 = 5^k - 3
]
приравняем оба выражения:
[
\frac{5}{2} \cdot (2a_1 + 4d) = 5^k - 3
]
Упрощим:
[
2a_1 + 4d = \frac{2(5^k - 3)}{5} = \frac{2 \cdot 5^k}{5} - \frac{6}{5}
]
[
2a_1 + 4d = \frac{2 \cdot 5^{k-1}}{5} - \frac{6}{5}
]
Чтобы найти ( a_1 ) и ( d ), нам нужна дополнительная информация (например, значения ( k ) и конкретные числа).
Задача 210:
Условие: Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6 и не больше 234.
Решение:
Определим максимальное кратное 6, которое меньше или равно 234:
[
234 \div 6 = 39
]
следовательно, максимальное кратное 6 — это ( 6 \cdot 39 = 234 ).
Поскольку числа кратные 6: 6, 12, 18, ..., 234, это арифметическая прогрессия, где ( a_1 = 6 ), ( d = 6 ), и ( n = 39 ).
Сумма первых n членов:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)
]
[
S_{39} = \frac{39}{2} \cdot (2 \cdot 6 + (39-1) \cdot 6)
]
[
S_{39} = \frac{39}{2} \cdot (12 + 228) = \frac{39}{2} \cdot 240
]
[
S_{39} = 39 \cdot 120 = 4680
]
Задача 234:
Условие: Геометрическая прогрессия задана формулой ( a_n = 52 ). Найдите сумму семи её членов.
Решение:
- Определим ( b ) — первый член и ( q ) — знаменатель прогрессии:
[
a_n = b \cdot q^{n-1}
]
Чтобы найти S7 (сумму первых семи членов):
[
S_n = b \frac{1-q^n}{1-q}
]
Для 7 членов:
[
S_7 = b \frac{1-q^7}{1-q}
]
Нам нужна информация по ( b ) и ( q ).
Задача 237:
Условие: Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии равна 30, а разность четвёртого и второго членов равна 90.
Решение:
Обозначим ( b ) — первый член, ( q ) — знаменатель прогрессии:
[
a_2 = bq \
a_3 = bq^2
]
Тогда:
[
bq + bq^2 = 30 \quad (1)
]
[
bq^3 - bq = 90 \quad (2)
]
Из (1):
[
bq(1 + q) = 30
]
Из (2):
[
bq(q^2 - 1) = 90
]
Теперь можно решить систему уравнений для ( b ) и ( q ) и найти сумму первых членов.
Задача 239:
Условие: Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии.
Для первой прогрессии: ( 96, 24, 6,... )
- Первый член: ( a = 96 )
- Общий знаменатель: ( q = \frac{24}{96} = \frac{1}{4} )
Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
[
S = \frac{a}{1 - q} = \frac{96}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{96}{\frac{3}{4}} = 128
]
Для второй прогрессии: ( 6, \frac{2}{3}, 2,... )
- Первый член: ( a = 6 )
- Общий знаменатель: ( q = \frac{2}{3}/6 = \frac{1}{9} )
Сумма:
[
S = \frac{6}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{6}{\frac{1}{3}} = 18
]
Задача 243:
Условие: Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии ( 6, 18, 2 \ldots ).
Похоже на ошибку в условии. Проверьте, возможно, были ошибки в числе или оно должно быть геометрической прогрессией.
Если у вас есть более точная формулировка или хотите разъяснить что-то, пожалуйста, сообщите!
