Последовательность (b_n) - геометрическая прогрессия, в которой b_6=40 и q =корень из 2
Чтобы решить задачу о геометрической прогрессии, нам необходимо использовать формулу общего члена геометрической прогрессии. Будем придерживаться следующих шагов:
Шаг 1: Определение параметров геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия определяется следующим образом:
- \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\), где:
- \(b_n\) — любой член прогрессии,
- \(b_1\) — первый член прогрессии,
- \(q\) — знаменатель прогрессии (в данном случае это корень из 2),
- \(n\) — номер члена прогрессии (в нашем случае \(n = 6\)).
Шаг 2: Подставим известные значения
У нас есть:
- \(b_6 = 40\),
- \(q = \sqrt{2}\).
Подставим это в формулу:
\[ b_6 = b_1 \cdot (\sqrt{2})^{6-1} = b_1 \cdot (\sqrt{2})^5 \]
Шаг 3: Упростим выражение
Вместо \( (\sqrt{2})^5 \) мы можем выразить это как:
\[ (\sqrt{2})^5 = (\sqrt{2})^4 \cdot \sqrt{2} = 2^2 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \]
Таким образом, у нас есть:
\[ 40 = b_1 \cdot 4\sqrt{2} \]
Шаг 4: Найдем \(b_1\)
Решим уравнение для \(b_1\):
\[ b_1 = \frac{40}{4\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \]
Теперь, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):
\[ b_1 = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \]
Шаг 5: Запишем формулу для общего члена прогрессии
Теперь мы знаем первый член. Подставим его в общую формулу для каждого следующего члена:
\[ b_n = 5\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2})^{n-1} \]
Шаг 6: Приведем к удобному виду
Теперь упростим формулу:
\[ b_n = 5\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2})^{n-1} = 5\sqrt{2}^{n} \]
Заключение
Таким образом, мы получили:
\[ b_n = 5\sqrt{2}^n \]
Теперь можно использовать эту формулу для нахождения любого члена геометрической прогрессии. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется помощь с конкретными значениями \(n\), дайте знать!
