9. Длины векторов а и b равны 4/2 и 5, а угол между ними равен 45°. Найдите скалярное произведение a-b.

Для решения задачи найдем скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) и затем определим скалярное произведение \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \). ### Шаг 1: Определение скалярного произведения Скалярное произведение двух векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) можно выразить формулой: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta) \] где: - \( |\mathbf{a}| \) — длина вектора \( \mathbf{a} \) - \( |\mathbf{b}| \) — длина вектора \( \mathbf{b} \) - \( \theta \) — угол между векторами ### Шаг 2: Подстановка значений Длины векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равны: - \( |\mathbf{a}| = \frac{4}{2} = 2 \) - \( |\mathbf{b}| = 5 \) Угол \( \theta = 45^\circ \), и нам нужно найти \( \cos(45^\circ) \): \[ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Теперь подставим известные значения в формулу скалярного произведения: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \] ### Шаг 3: Найдем \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \) Скалярное произведение \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \) можно найти через следующую формулу: \[ (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \] ### Шаг 4: Подсчет необходимых компонентов 1. **Найдем \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} \)**: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2 = 2^2 = 4 \] 2. **Найдем \( \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \)**: \[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{b}|^2 = 5^2 = 25 \] ### Шаг 5: Подстановка в формулу Теперь подставим все значения в формулу: \[ (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = 4 - 2(5\sqrt{2}) + 25 \] ### Шаг 6: Простое вычисление \[ (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = 4 + 25 - 10\sqrt{2} \] \[ = 29 - 10\sqrt{2} \] ### Заключение Таким образом, скалярное произведение \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \) представлено как \( 29 - 10\sqrt{2} \).