9. Длины векторов а и b равны 4/2 и 5, а угол между ними равен 45°. Найдите скалярное произведение a-b.
Для решения задачи найдем скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) и затем определим скалярное произведение \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \).
Шаг 1: Определение скалярного произведения
Скалярное произведение двух векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) можно выразить формулой:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta) \]
где:
- \( |\mathbf{a}| \) — длина вектора \( \mathbf{a} \)
- \( |\mathbf{b}| \) — длина вектора \( \mathbf{b} \)
- \( \theta \) — угол между векторами
Шаг 2: Подстановка значений
Длины векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равны:
- \( |\mathbf{a}| = \frac{4}{2} = 2 \)
- \( |\mathbf{b}| = 5 \)
Угол \( \theta = 45^\circ \), и нам нужно найти \( \cos(45^\circ) \):
\[ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Теперь подставим известные значения в формулу скалярного произведения:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \]
Шаг 3: Найдем \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \)
Скалярное произведение \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \) можно найти через следующую формулу:
\[ (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \]
Шаг 4: Подсчет необходимых компонентов
Найдем \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} \): \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2 = 2^2 = 4 \]
Найдем \( \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \): \[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{b}|^2 = 5^2 = 25 \]
Шаг 5: Подстановка в формулу
Теперь подставим все значения в формулу:
\[ (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = 4 - 2(5\sqrt{2}) + 25 \]
Шаг 6: Простое вычисление
\[ (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) = 4 + 25 - 10\sqrt{2} \] \[ = 29 - 10\sqrt{2} \]
Заключение
Таким образом, скалярное произведение \( \mathbf{a} - \mathbf{b} \) представлено как \( 29 - 10\sqrt{2} \).
