реши с помощью формулы геометрической прогрессии подлетит мячик, с Задание 7. У Яны есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого…

Давайте по порядку разберём каждую из задач, начиная с задачи 7.

Задание 7: Высота отскока попрыгунчика

У нас есть попрыгунчик, который после первого отскока подлетает на высоту 320 см, а после каждого последующего отскока его высота уменьшается вдвое. Это может быть описано с помощью формулы геометрической прогрессии.

1. Первая высота: \( h_1 = 320 \) см.
2. Общая формула для высоты после n-го отскока: \( h_n = h_1 \cdot r^{(n-1)} \), где \( r \) — коэффициент уменьшения (в нашем случае \( r = \frac{1}{2} \)).
3. Формула будет: \( h_n = 320 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{(n-1)} \).

Теперь, нам нужно определить, при каком n высота станет меньше 6 см:

\[ h_n < 6 \quad \Rightarrow \quad 320 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{(n-1)} < 6 \]

Теперь делим обе стороны на 320:

\[ \left( \frac{1}{2} \right)^{(n-1)} < \frac{6}{320} \]

Упростим правую часть:

\[ \frac{6}{320} = \frac{3}{160} \]

Теперь у нас:

\[ \left( \frac{1}{2} \right)^{(n-1)} < \frac{3}{160} \]

Теперь мы можем взять логарифм от обеих сторон:

\[ (n-1) \cdot \log\left( \frac{1}{2} \right) < \log\left( \frac{3}{160} \right) \]

Так как \(\log\left( \frac{1}{2} \right)\) - отрицательная величина, мы меняем знак неравенства:

\[ n-1 > \frac{\log\left( \frac{3}{160} \right)}{\log\left( \frac{1}{2} \right)} \]

Теперь вычисляем это значение:

1. \( \log\left( \frac{3}{160} \right) = \log(3) - \log(160) \)
2. Если взять логарифмы (например, по 10):
   • \( \log(3) \approx 0.4771 \)
   • \( \log(160) = \log(16) + \log(10) \approx 1.2041 + 1 = 2.2041 \)

Итак, \( \log\left( \frac{3}{160} \right) \approx 0.4771 - 2.2041 \approx -1.727 \).

Теперь подставляя это значение, получаем:

\[ n-1 > \frac{-1.727}{\log\left( \frac{1}{2} \right)} \quad\text{(где } \log\left( \frac{1}{2} \right) \approx -0.3010\text{)} \] \[ n-1 > \frac{-1.727}{-0.3010} \approx 5.733 \] \[ n > 6.733 \quad \Rightarrow \quad n \geq 7 \]

Таким образом, высота мяча станет меньше 6 см после 7-го отскока.

Задание 8: Распад радионуклида

В этой задаче нам нужно найти массу радийного изотопа через 36 минут, если его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут.

1. Начальная масса: \( m_0 = 480 \) мг.
2. Каждые 6 минут масса уменьшается вдвое.
3. Нам нужно узнать, сколько раз произойдёт деление за 36 минут:

\[ \frac{36 \text{ минут}}{6 \text{ минут}} = 6 \]

Таким образом, общее количество половинок будет 6:

\[ m_t = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \] где \( n = 6 \):

\[ m_t = 480 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 \] \[ = 480 \cdot \frac{1}{64} = 480 \cdot 0.015625 = 7.5 \text{ мг} \]

Ответ: через 36 минут масса изотопа составит 7.5 мг.

Если есть ещё вопросы или хотите разобрать другие задачи, дайте знать!