Давайте по порядку разберём каждую из задач, начиная с задачи 7.
Задание 7: Высота отскока попрыгунчика
У нас есть попрыгунчик, который после первого отскока подлетает на высоту 320 см, а после каждого последующего отскока его высота уменьшается вдвое. Это может быть описано с помощью формулы геометрической прогрессии.
- Первая высота: ( h_1 = 320 ) см.
- Общая формула для высоты после n-го отскока: ( h_n = h_1 \cdot r^{(n-1)} ), где ( r ) — коэффициент уменьшения (в нашем случае ( r = \frac{1}{2} )).
- Формула будет: ( h_n = 320 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{(n-1)} ).
Теперь, нам нужно определить, при каком n высота станет меньше 6 см:
[
h_n < 6 \quad \Rightarrow \quad 320 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{(n-1)} < 6
]
Теперь делим обе стороны на 320:
[
\left( \frac{1}{2} \right)^{(n-1)} < \frac{6}{320}
]
Упростим правую часть:
[
\frac{6}{320} = \frac{3}{160}
]
Теперь у нас:
[
\left( \frac{1}{2} \right)^{(n-1)} < \frac{3}{160}
]
Теперь мы можем взять логарифм от обеих сторон:
[
(n-1) \cdot \log\left( \frac{1}{2} \right) < \log\left( \frac{3}{160} \right)
]
Так как (\log\left( \frac{1}{2} \right)) - отрицательная величина, мы меняем знак неравенства:
[
n-1 > \frac{\log\left( \frac{3}{160} \right)}{\log\left( \frac{1}{2} \right)}
]
Теперь вычисляем это значение:
- ( \log\left( \frac{3}{160} \right) = \log(3) - \log(160) )
- Если взять логарифмы (например, по 10):
- ( \log(3) \approx 0.4771 )
- ( \log(160) = \log(16) + \log(10) \approx 1.2041 + 1 = 2.2041 )
Итак, ( \log\left( \frac{3}{160} \right) \approx 0.4771 - 2.2041 \approx -1.727 ).
Теперь подставляя это значение, получаем:
[
n-1 > \frac{-1.727}{\log\left( \frac{1}{2} \right)} \quad\text{(где } \log\left( \frac{1}{2} \right) \approx -0.3010\text{)}
]
[
n-1 > \frac{-1.727}{-0.3010} \approx 5.733
]
[
n > 6.733 \quad \Rightarrow \quad n \geq 7
]
Таким образом, высота мяча станет меньше 6 см после 7-го отскока.
Задание 8: Распад радионуклида
В этой задаче нам нужно найти массу радийного изотопа через 36 минут, если его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут.
- Начальная масса: ( m_0 = 480 ) мг.
- Каждые 6 минут масса уменьшается вдвое.
- Нам нужно узнать, сколько раз произойдёт деление за 36 минут:
[
\frac{36 \text{ минут}}{6 \text{ минут}} = 6
]
Таким образом, общее количество половинок будет 6:
[
m_t = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
]
где ( n = 6 ):
[
m_t = 480 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6
]
[
= 480 \cdot \frac{1}{64} = 480 \cdot 0.015625 = 7.5 \text{ мг}
]
Ответ: через 36 минут масса изотопа составит 7.5 мг.
Если есть ещё вопросы или хотите разобрать другие задачи, дайте знать!
