Хорды АВ и CD пересекаются в точке K, ∠ ВKD = 60°, ?BD на 20° больше ?АС. Найди- те ?АС.
Дано:
Хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(K\).
\(\angle VKD = 60^\circ\).
\(\angle BDK\) на \(20^\circ\) больше \(\angle ACS\).
Мы хотим найти угол \(\angle ACS\).
Решение:
Для начала заметим, что в центре окружности угол, образованный хордой и дугой, равен половине угла, образуемого этими лучами, имеющих один конец в центре окружности.
Также, угол, образованный хордой и дугой, равен по величине углу, образованному хордой и хордальным сегментом.Рассмотрим углы в треугольнике \(KBD\):
а) Внутри треугольника \(\angle BDK\) равен \(\angle BAK\).
б) Угол при вершине треугольника равен \(180^\circ\).
Тогда,
\(\angle BKD = 180^\circ - \angle BDK - \angle BAK = 180^\circ - 60^\circ - \angle BAK = 120^\circ - \angle BAK\).Рассмотрим хорду \(AB\).
Так как \(\angle ACS = \angle BAK\), угол, образуемый хордой \(AB\) и дугой \(AB\), равен \(2\cdot\angle ACS\).
Этот угол равен \(\angle BDK\), так как хорда \(AB\) пересекает хорду \(CD\) в точке \(K\).
Следовательно,
\(2\cdot\angle ACS = 120^\circ - \angle ACS\).Решим уравнение:
\(2\cdot\angle ACS + \angle ACS = 120^\circ\).
\(3\cdot\angle ACS = 120^\circ\)
\(\angle ACS = \frac{120^\circ}{3} = 40^\circ\).
Итак, угол \(\angle ACS = 40^\circ\).
Это и есть ответ на задачу.
