Хорды АВ и CD пересекаются в точке K, ∠ ВKD = 60°, ?BD на 20° больше ?АС. Найди- те ?АС.

Дано: Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$. $\angle VKD = 60^\circ$. $\angle BDK$ на $20^\circ$ больше $\angle ACS$. Мы хотим найти угол $\angle ACS$. **Решение:** 1. Для начала заметим, что в центре окружности угол, образованный хордой и дугой, равен половине угла, образуемого этими лучами, имеющих один конец в центре окружности. Также, угол, образованный хордой и дугой, равен по величине углу, образованному хордой и хордальным сегментом. 2. Рассмотрим углы в треугольнике $KBD$: а) Внутри треугольника $\angle BDK$ равен $\angle BAK$. б) Угол при вершине треугольника равен $180^\circ$. Тогда, $\angle BKD = 180^\circ - \angle BDK - \angle BAK = 180^\circ - 60^\circ - \angle BAK = 120^\circ - \angle BAK$. 3. Рассмотрим хорду $AB$. Так как $\angle ACS = \angle BAK$, угол, образуемый хордой $AB$ и дугой $AB$, равен $2\cdot\angle ACS$. Этот угол равен $\angle BDK$, так как хорда $AB$ пересекает хорду $CD$ в точке $K$. Следовательно, $2\cdot\angle ACS = 120^\circ - \angle ACS$. 4. Решим уравнение: $2\cdot\angle ACS + \angle ACS = 120^\circ$. $3\cdot\angle ACS = 120^\circ$ $\angle ACS = \frac{120^\circ}{3} = 40^\circ$. Итак, угол $\angle ACS = 40^\circ$. Это и есть ответ на задачу.