У Ивана Ивановича перегорела нагревательная спираль в паяльнике, который был рассчитан на напряжение 9 В. Для ремонта Ивану Ивановичу потребовалось рассчитать длину нихромовой…
У Ивана Ивановича перегорела нагревательная спираль в паяльнике, который был рассчитан на напряжение 9 В. Для ремонта Ивану Ивановичу потребовалось рассчитать длину нихромовой проволоки, требуемой для изготовления новой спирали. В своём ящике с инструментами он нашёл кусок нихромовой проволоки длиной 18 см с площадью поперечного сечения 0,011 мм2 . Удельное сопротивление нихрома 1,1 Ом·мм2/м. 1) Чему равно сопротивление найденного куска проволоки? 2) Оказалось, что при такой площади поперечного сечения проволоки, чтобы она нагрелась до необходимой температуры 400 °С, по ней должен течь ток силой не менее 0,42 А. При силе тока в 1,5 А проволока такого поперечного сечения перегорает. Удастся ли починить паяльник с помощью найденного куска проволоки? Ответ подтвердите расчётами. 3) Кусок какой длины необходимо отрезать от найденной проволоки для того, чтобы исправленный с его помощью паяльник обладал максимальной мощностью, и при этом проволока не перегорала? Напишите полное решение этой задачи
Решение:
- Сопротивление найденного куска проволоки:
Для расчета сопротивления проволоки используем формулу:
\[ R = \frac{{\rho \cdot L}}{S} \]
где:
\( R \) - сопротивление проволоки,
\( \rho \) - удельное сопротивление нихрома (1,1 Ом·мм²/м),
\( L \) - длина проволоки (18 см = 0,18 м),
\( S \) - площадь поперечного сечения проволоки (0,011 мм² = 0,011 * 10^(-6) м²).
Подставляем известные значения и рассчитаем сопротивление: \[ R = \frac{{1,1 \cdot 0,18}}{0,011 \cdot 10^{-6}} = 0,18 \; Ом \]
Сопротивление найденного куска проволоки равно 0,18 Ом.
- Ремонт паяльника:
Для проверки возможности починить паяльник с помощью найденного куска проволоки, вычислим потери мощности при различных значениях силы тока.
У нас дано, что:
- Потребляемый ток для нагрева проволоки до 400 °C - 0,42 A
- Проволока перегорает при токе 1,5 A
Потери мощности \( P \) в проволоке можно найти по формуле: \[ P = I^2 \cdot R \]
При токе 0,42 A: \[ P = 0,42^2 \cdot 0,18 = 0,03132 \; Вт \]
При токе 1,5 A: \[ P = 1,5^2 \cdot 0,18 = 0,405 \; Вт \]
Так как потери мощности при токе 1,5 A = 0,405 Вт, что больше, чем при 0,42 A, то при силе тока 1,5 A проволока перегорит.
Следовательно, с помощью найденного куска проволоки невозможно починить паяльник.
- Максимальная мощность и длина проволоки:
Максимальная мощность \( P_{max} \) передается проволоке, когда сопротивление проволоки равно нагрузке.
Для нагрузки:
\[ P = I^2 \cdot R \]
где \( R \) - сопротивление, равное нагрузке (в данном случае необходимо найти его).
При нагрузке \( P = I^2 \cdot R \), сопротивление проволоки равно нагрузке, следовательно: \[ P = I^2 \cdot \frac{{\rho \cdot L}}{S} \] \[ \frac{P}{I^2} = \frac{\rho \cdot L}{S} \] \[ R = \frac{\rho \cdot L}{S} \]
Используем те же значения для \( \rho \) и \( S \) и найденное ранее значение сопротивления \( R = 0,18 Ом \).
\[ P = 1,5^2 \cdot 0,18 = 0,405 Вт \]
Таким образом, для достижения максимальной мощности 0,405 Вт и предотвращения перегорания проволоки, необходимо отрезать длину, при которой ее сопротивление будет равно нагрузке, то есть 0,18 Ом.
Найдем длину \( L_{new} \) проволоки для максимальной мощности: \[ R = \frac{\rho \cdot L_{new}}{S} \] \[ L_{new} = \frac{R \cdot S}{\rho} = \frac{0,18 \cdot 0,011 \cdot 10^{-6}}{1,1} = 0,00162 м = 1,62 мм \]
Итак, для достижения максимальной мощности и предотвращения перегорания, необходимо отрезать проволоку длиной 1,62 мм.
