преобразовать в сумму или разность
Для решения задачи воспользуемся формулами для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму или разность:
- \(\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)]\)
- \(\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]\)
Теперь применим эти формулы к каждому выражению:
- \(\cos 45^\circ \cdot \cos 75^\circ\)
\[ \cos 45^\circ \cdot \cos 75^\circ = \frac{1}{2}[\cos(45^\circ + 75^\circ) + \cos(45^\circ - 75^\circ)] \]
Выразим углы:
\[ = \frac{1}{2}[\cos 120^\circ + \cos(-30^\circ)] \]
Зная, что \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\), получим:
\[ = \frac{1}{2}[\cos 120^\circ + \cos 30^\circ] \]
- \(\cos 23^\circ \cdot \cos 157^\circ\)
\[ \cos 23^\circ \cdot \cos 157^\circ = \frac{1}{2}[\cos(23^\circ + 157^\circ) + \cos(23^\circ - 157^\circ)] \]
Выразим углы:
\[ = \frac{1}{2}[\cos 180^\circ + \cos(-134^\circ)] \]
Так как \(\cos 180^\circ = -1\) и \(\cos(-134^\circ) = \cos(134^\circ)\):
\[ = \frac{1}{2}[-1 + \cos 134^\circ] \]
- \(\sin 11^\circ \cdot \cos 79^\circ\)
\[ \sin 11^\circ \cdot \cos 79^\circ = \frac{1}{2}[\sin(11^\circ + 79^\circ) + \sin(11^\circ - 79^\circ)] \]
Выразим углы:
\[ = \frac{1}{2}[\sin 90^\circ + \sin(-68^\circ)] \]
Знаем, что \(\sin 90^\circ = 1\) и \(\sin(-68^\circ) = -\sin 68^\circ\), следовательно:
\[ = \frac{1}{2}[1 - \sin 68^\circ] \]
- \(\cos 45^\circ \cdot \cos 15^\circ\)
\[ \cos 45^\circ \cdot \cos 15^\circ = \frac{1}{2}[\cos(45^\circ + 15^\circ) + \cos(45^\circ - 15^\circ)] \]
Выразим углы:
\[ = \frac{1}{2}[\cos 60^\circ + \cos 30^\circ] \]
Теперь знаем, что \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) и \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому:
\[ = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right] = \frac{1}{2}\cdot \frac{1+\sqrt{3}}{2} \]
