Преобразовать в сумму или разность

Для решения задачи воспользуемся формулами для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму или разность: 1. \(\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)]\) 2. \(\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]\) Теперь применим эти формулы к каждому выражению: 1) \(\cos 45^\circ \cdot \cos 75^\circ\) \[ \cos 45^\circ \cdot \cos 75^\circ = \frac{1}{2}[\cos(45^\circ + 75^\circ) + \cos(45^\circ - 75^\circ)] \] Выразим углы: \[ = \frac{1}{2}[\cos 120^\circ + \cos(-30^\circ)] \] Зная, что \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\), получим: \[ = \frac{1}{2}[\cos 120^\circ + \cos 30^\circ] \] 2) \(\cos 23^\circ \cdot \cos 157^\circ\) \[ \cos 23^\circ \cdot \cos 157^\circ = \frac{1}{2}[\cos(23^\circ + 157^\circ) + \cos(23^\circ - 157^\circ)] \] Выразим углы: \[ = \frac{1}{2}[\cos 180^\circ + \cos(-134^\circ)] \] Так как \(\cos 180^\circ = -1\) и \(\cos(-134^\circ) = \cos(134^\circ)\): \[ = \frac{1}{2}[-1 + \cos 134^\circ] \] 3) \(\sin 11^\circ \cdot \cos 79^\circ\) \[ \sin 11^\circ \cdot \cos 79^\circ = \frac{1}{2}[\sin(11^\circ + 79^\circ) + \sin(11^\circ - 79^\circ)] \] Выразим углы: \[ = \frac{1}{2}[\sin 90^\circ + \sin(-68^\circ)] \] Знаем, что \(\sin 90^\circ = 1\) и \(\sin(-68^\circ) = -\sin 68^\circ\), следовательно: \[ = \frac{1}{2}[1 - \sin 68^\circ] \] 4) \(\cos 45^\circ \cdot \cos 15^\circ\) \[ \cos 45^\circ \cdot \cos 15^\circ = \frac{1}{2}[\cos(45^\circ + 15^\circ) + \cos(45^\circ - 15^\circ)] \] Выразим углы: \[ = \frac{1}{2}[\cos 60^\circ + \cos 30^\circ] \] Теперь знаем, что \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) и \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому: \[ = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right] = \frac{1}{2}\cdot \frac{1+\sqrt{3}}{2} \]