ВАРИАНТ-1 1. В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем, Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра? В амфитеатре 11 рядов, В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре? В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека, Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 чеповек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стоп, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 16 квадратных столиков вдоль одной линии? При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждук минуту температура вещества уменьшалась на 6" С. Найдите температуру вещества (в граду Цельсия) через 4 минуты после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла - 7" 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки, На рисунке изображен случай, когда последнее звено имеет длину 10, Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет дпину 190. 6. У Тани есть теннисный мячик, Она со всей силы бросила его об асфальт, После первого отскока мячик подлетел на высоту 360 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей, После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см? Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 9 метров, а в кажд следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд? В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колоник микроорганизмов массой 10 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 150 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах. В амфитеатре 14 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра? 10 У Кати есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 400 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей, После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 20 см? В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 9 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б. В начальный момент масса изотопа А составляла 640 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 45 минут. Ответ дайте в миллиграммах. В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 8 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найди массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Давайте приступим к решению задачи "ВАРИАНТ-1". 1. **Задача:** 1.1. В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра? **Решение:** Посмотрим на закономерность увеличения количества мест в каждом ряду. 1-й ряд: 25 мест 2-й ряд: 25 + 3 = 28 мест 3-й ряд: 28 + 3 = 31 мест И так далее, каждый последующий ряд на 3 места больше предыдущего. Для 8-го ряда амфитеатра, количество мест будет: 25 + 3 * (8 - 1) = 25 + 3 * 7 = 25 + 21 = 46 мест в восьмом ряду. Ответ: В восьмом ряду амфитеатра будет 46 мест. 1.2. В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре? **Решение:** Сначала найдем количество мест для каждого ряда: 1-й ряд: 17 мест 2-й ряд: 17 + 3 = 20 мест 3-й ряд: 20 + 3 = 23 мест И так далее, каждый следующий ряд на 3 места больше предыдущего. Для 11 рядов, сумма мест будет: (17 + 20) + (20 + 23) + ... + (17 + 3 * 10) Заметим, что это арифметическая прогрессия. Используем формулу суммы арифметической прогрессии: Сумма = (количество членов / 2) * (первый член + последний член) Сумма = (11 / 2) * (17 + (17 + 3 * 10)) = 5.5 * (17 + 47) = 5.5 * 64 = 352 места. Ответ: В амфитеатре будет всего 352 места. 1.3. На рисунке изображен случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии и получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 16 квадратных столиков вдоль одной линии? **Решение:** По условию, мы знаем, что за 3 столика могут сесть 6 человек, а за 2 столика - 4 человека. Чтобы найти количество человек, с которых сможет сесть за 16 столов, будем представлять себе эту задачу в виде уравнения. Представим количество человек, которое можно уместить за один столик, за 1 человека. Тогда за 3 столика можно уместить 3 * 4 = 12 человек. А за 16 столов можно уместить 16 * 4 = 64 человек. Ответ: За стол, который будет получен, если сдвинуть 16 квадратных столиков вдоль одной линии, сможет сесть 64 человека. 1.4. Проводят опыт, вещество равномерно охлаждают в течение 10 минут. Каждую минуту температура вещества уменьшается на 6°С. Найдите температуру вещества через 4 минуты после начала опыта, если его начальная температура составляла 7°С. **Решение:** Для нахождения температуры вещества через 4 минуты после начала опыта, нам нужно вычесть из начальной температуры (7°С) уменьшение в температуре за 4 минуты (6°С * 4 минуты). Температура через 4 минуты = 7 - 6 * 4 = 7 - 24 = -17°С. Ответ: Через 4 минуты после начала проведения опыта температура вещества составит -17°С. 1.5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 нарисована "змейка", состоящая из ломаной, где каждое звено имеет четное число клеток. Найдите длину ломаной, если последнее звено имеет длину 10 клеток, а последнее звено с длиной 190 клеток - аналогичным образом построенной ломаной. **Решение:** Имея последнее звено с длиной 10 клеток, мы можем найти, сколько всего клеток характеризует змейку. Пусть суммарная длина ломаной z равна S. Т.к. каждое звено имеет четное число клеток, последовательность длин звеньев может быть четным арифметическим рядом. Последовательность: 2, 4, 6, 8, ..., 10. Сумма всех чисел от 2 до 10 = (2 + 10) * (количество членов) / 2 = 60. Аналогично, для последнего звена с длиной 190: Последовательность: 2, 4, 6, 8, ..., 190 Сумма звеньев от 2 до 190 = (2 + 190) * (количество членов) / 2 = 192 * количество членов / 2 = 96 * количество членов. Из условия мы знаем, что последнее звено змейки имеет длину 190 и четное число клеток. Таким образом, 96 * количество членов = 190. Количество членов = 190 / 96 = 95 / 48 = 1.98 (но т.к. число членов должно быть целым, округляем в большую сторону). Количество членов = 2. Таким образом, длина ломаной с последним звеном 190 клеток будет 96 * 2 = 192 клетки. Ответ: Длина ломаной, построенной аналогичным образом, где последнее звено имеет длину 190 клеток, составит 192 клетки. 1.6. У Тани есть теннисный мячик, который после каждого отскока подпрыгивает на все меньшую высоту. Требуется найти, после какого отскока высота подпрыгивания мячика станет меньше 15 см. **Решение:** После первого отскока мячик подпрыгнул на 360 см (или 3.6 метра). После второго отскока: 3.6 / 3 = 1.2 метра. После третьего отскока: 1.2 / 3 = 0.4 метра = 40 см. После четвертого отскока: 40 / 3 = 13.33 метра = 13.33 см. После пятого отскока: 13.33 / 3 = 4.44 метра = 4.44 см. Ответ: Высота, на которой мячик станет меньше 15 см, будет после пятого отскока. 1.7. Камень бросают в глубокое ущелье с увеличением пролетаемого расстояния на 10 метров каждую секунду. Необходимо найти, сколько метров пролетит камень за первые пять секунд. **Решение:** Пролетаемое расстояние камня можно представить как арифметическую прогрессию. Первая секунда: 9 метров Вторая секунда: 9 + 10 = 19 метров Третья секунда: 19 + 10 = 29 метров И так далее. За первые 5 секунд: Сумма = (количество членов / 2) * (первый член + последний член) Сумма = (5 / 2) * (9 + 9 + 4 * 10) = 2.5 * 65 = 162.5 метров. Ответ: Камень пролетит 162.5 метров за первые пять секунд. 1.8. В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 10 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Необходимо найти массу колонии микроорганизмов через 150 минут после начала эксперимента. **Решение:** Из условия видно, что масса колонии увеличивается в 3 раза каждые 30 минут. Значит, через 30 минут масса будет 10 * 3 = 30 мг. Через еще 30 минут - 30 * 3 = 90 мг. Затем через еще 30 минут - 90 * 3 = 270 мг. И снова через 30 минут - 270 * 3 = 810 мг. И, наконец, через последние 30 минут - 810 * 3 = 2430 мг. Ответ: Масса колонии микроорганизмов через 150 минут после начала эксперимента составит 2430 мг. 1.9. В амфитеатре 14 рядов, причем в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Необходимо найти количество мест в последнем ряду амфитеатра. **Решение:** Выясним, на сколько мест больше становится в каждом ряду. В 8-м ряду - 36 мест. Значит, разница между 8-м и 5-м рядом составляет 36 - 27 = 9 мест. Теперь найдем, на сколько мест больше становится в каждом следующем ряду: Последовательность: 27, 28, 29, 30, ..., 36 Разница между рядами: 1 место. Следовательно, каждый следующий ряд увеличивает количество мест на 1. Таким образом, в 14-м ряду будет: 36 + (14 - 8) = 36 + 6 = 42 места. Ответ: В последнем ряду амфитеатра будет 42 места. 1.10. У Кати есть попрыгунчик (каучуковый шарик), который после каждого отскока подпрыгивает на все меньшую высоту. Необходимо найти, после какого отскока высота подпрыгивания шарика станет меньше 20 см. **Решение:** Из условия, после первого отскока шарик подпрыгнул на 400 см (или 4 метра). После второго отскока: 4 / 2 = 2 метра = 200 см. После третьего отскока: 200 / 2 = 100 см = 1 метр. После четвертого отскока: 100 / 2 = 50 см. Ответ: Высота, на которой шарик подпрыгнет меньше 20 см, будет после третьего отскока. 1.11. В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 9 минут половина его атомов преобразуется в стабильный изотоп Б. Изначально масса изотопа А составляла 640 мг. Необходимо найти массу образовавшегося изотопа Б через 45 минут. **Решение:** С начальной массой 640 мг изотопа A, через 9 минут половина атомов A превратится в атомы стабильного изотопа B, т.е. 320 мг превратится в B, а 320 мг останется в A. За следующие 9 минут еще половина оставшихся 320 мг А превратится в B, т.е. еще 160 мг превратится. Итак, после 18 минут у нас 320 + 160 = 480 мг B и 320 мг A. Продолжая аналогичным образом, через каждые 9 минут половина оставшегося A превратится в B. Таким образом, через 45 минут из 640 мг A превратится в 640 / 2^5 = 640 / 32 = 20 мг A. Ответ: Масса образовавшегося изотопа Б через 45 минут составит 620 мг. 1.12. В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 8 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Необходимо найти массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. **Решение:** Аналогично предыдущему случаю, через каждые 20 минут масса увеличивается в 3 раза. Изначально у нас было 8 мг. Через 20 минут это станет 8 * 3 = 24 мг. Через еще 20 минут это будет 24 * 3 = 72 мг. После 60 минут - 72 * 3 = 216 мг. И, наконец, через последние